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Ces condilions impliquent que (/, t.,)'' = (/.^t,)~^ et dès lors chacun i • 

 groupes cycliques engendrés parles opérateurs ;,, l't, (/, /j)- respect. .^...^... 

 est invariant sous le groupe (G) engendré par /,, t^. Deux quelconques de 

 ces groupes cycliques ont au plus deux opérateurs communs puisque chacun 

 des trois opérateurs /,, t.j, t,t.^ transforme en leurs inverses tous les opéra- 

 teurs de deux de ces groupes cycliques, et en eux-mêmes ceux du troisième. 

 C'est-à-dire qu'on transforme tous les opérateurs des trois groupes 



[engendrés respectivement par /^, (/(/j)-; /;, (^z, /.)-; /';, /^] en leurs inverses 

 par/,, t.,, (,(., respectivement. 



Des résultants précédents il résulte évidemment que le groupe abélien 

 \t''^, t'i, ((, t^Y] est invariant sous G. Chacun des trois groupes 



[u, iKht^y-l [tli,,(t,t,y-], {titit.t,) 

 est aussi invariant sous G puisque 



(-^ t,u— t:,^t]'- {lltn)-. 



En conséquence, le groupe quotient de G par 



[Il t;, (t,t,r] 



est ou le groupe carré, ou un sous-groupe de ce groupe, et G est toujours 

 résoluble. De là le théorème : 



Si chacun des deux opérateurs Lrans forme le carré de l'autre en son inverse^ 

 ils transforment aussi le carré de leur produit en son inverse et ces trois carrés 

 engendrent un sous-groupe abélien et invariant sous le groupe engendré par 

 les deux opérateurs, l'indice de ce sous- groupe étant un diviseur de 4 . 



Si/, est d'ordre impair, t.^ transforme /, en son inverse, puisque /;[ en- 

 gendre/,. De là /, et t\ sont commulatifs. Mais il faut aussi que /, trans- 

 forme tl en son inverse. Cela exige que t'i = t^,'', ou /^ = i . On peut 

 exprimer ce résultat comme il suit : 



Si chacun des deux opérateurs transforme le carré de l'autre en son inverse, 

 et sil'un d'eux est d'ordre impair, il faut que l'ordre de l'autre divise l\, et 

 les deux opérateurs engendrent ou le groupe diédral dont l ordre est deux fois 

 un nombre impair, ou le groupe dicyclique dont l'ordre est quatre fois un 

 nombre impair. 



