SÉANCE DU l5 NOVEMBRE 1909. 8/(5 



On peut évidemment engendrer tout tel groupe diédral et tout tel groupe 

 dicyclique par deux tels opérateurs, puisqu'on peut engendrer tout groupe 

 possible diédral ou dicyclique par deux opérateurs, dont chacun trans- 

 forme le carré de l'autre en son inverse, et l'on peut regarder la catégorie des 

 groupes considérés comme une généralisation de ces deux catégories impor- 

 tantes. D'autres généralisations sont publiées dans les Transactions of ihe 

 American Malheniatical Society (t. VIII, 1907, p. i). 



Nous avons prouvé ci-dessus que G contient un sous-groupe invariant 

 [Zp z!;, (z,/o)'], et que deux quelconques des trois groupes cycliques en- 

 gendrés par t\^tl^{ttt.,)'- respectivement ont au plus deux opérateurs en 

 commun. 11 n'est pas difficile de voir qu'// est possible de construire de tels 

 groupes pour lesquels les ordres de t\, t'i^ {^{^-2)' ^ont trois nombres arbitraires. 

 Pour le faire, on peut écrire, avec des systèmes distincts de lettres, trois 

 groupes cycliques des ordres requis, chaque générateur étant composé de 

 deux cycles égaux si son ordre est pair. Alors, nous choisissons /,, t^ de 

 telle manière qu'ils engendrent respectivement les deux premiers de ces 

 groupes cycliques, et que leurs composantes qui renferment les lettres 

 des autres groupes cycliques soient d'ordre 2, transforment ces groupes 

 cycliques en leurs inverses, et donnent un produit d'ordre requis. Il suit 

 directement des propriétés du groupe diédral que l'on peut choisir ces 

 substitutions de telle manière que /,, t., ont les propriétés requises, et ceci 

 établit l'existence de G pour quelque système arbitraire de valeurs des 

 ordres de t'^, t-l, (t,tny. Des propriétés des groupes dicycliques il suit que 

 l'on peut procéder de la même façon quand deux des groupes cycliques en- 

 gendrés par t-^, tl, (t,,t.2)- ont un opérateur d'ordre 2 en commun. 



Les résultats obtenus ci-dessus sont très utiles dans l'étude des groupes 

 engendrés par deux opérateurs .v,, s., qui satisfont à la condition s, s., =^ sis]. 

 Un théorème fondamental résultant de celte condition fut établi par 

 M. Cayley en 1878 ('). Dans certains cas l'on a prouvé que seulement un 

 nombre liui de groupes peut être engendré par deux opérateurs qui satis- 

 font à cette condition et à une condition additionnelle de la forme s" =: i (^). 

 (^uand n = 2, le groupe (H) engendré par ^,, s^ est évidemment d'ordre 2; 

 quand n = 3, H est le groupe d'ordre 3, le groupe tétraédral, ou le groupe 

 d'ordre 24, qui ne contient pas un sous-groupe d'ordre 1 2 ; quand n = 4) 



(') Messenger of Matlieniatics, t. VII, 1878, p. 188. 



(-) Cf. Netto, Journal fur die reine und angewandle MathemaUk. t. CXXVIII, 

 1905, p. 243. 



