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point et d'une droite donne naissance à diUércnles qiieslions qni ont été 

 examinées successivement par les anciens {géomètres. 



D'abord, on peut remarquer ([ue, si X, Y, Z désignent les cosinus direc- 

 teurs de la droite passant par le point de coordonnées rectangulaires j;,v, «, 

 les équations dilTérentieiles (i) détermineront une congruence de courbes 

 dont les droites considérées seront les tangentes. 



On voit de plus que, si l'équation de condition (4) est satisfaite, les 

 courbes, et par conséquent aussi leurs tangentes, seront normales à une fa- 

 mille de surfaces qu'on obtiendra par rinW'gralion de ré(juation aux diffé- 

 rentielles totales 



X dx + Y cl y + Z dz — o ; 



je rappellerai ici l'interprétation géométrique que j'ai donnée de la condi- 

 tion (4) dans mes Leçons sur la théorie des surfaces, t. II, p. 262 (note). 



Soient M un point de l'espace et M' un point infiniment voisin; on sait que 

 le lieu des directions MM' telles que les droites relatives à M et à M' forment 

 un élément de surface développable est un cône du second degré que nous 

 appellerons cône de Malus. Cela posé, voici l'interprétation géométrique 

 de la condition (4) : elle exprime que le cône de Malus est équilatère, c'est- 

 à-dire contient une infinité de trièdres trireclangles. 



6. Quand la condition (4) n'est pas vérifiée, c'est-à-dire quand le cône de 

 Malus n'est pas équilatère, on peut affirmer que les courbes définies par les 

 équations différentielles (i) n'admettent pas de surfaces trajectoires ortho- 

 gonales formant une famille. Il semblait bien cpril en serait de même des 

 droites qui leur sont tangentes. Mais, dans un travail [)résenté à l'Acadé- 

 mie des Sciences en 1861 et inséré à la page 19^ du 38'' Cahier du Journal 

 de l'École Polytechidque sous le titre suivant : Mémoire sur les propriétés d'un 

 ensemble de droites menées de tous les points de l'espace, suivant une loi con- 

 tinue, Abel Transon a montré au contraire que, quel que soit l'ensemble 

 de droites considéré, il y a toujours une infinité de moyens de grouper les 

 droites de cet ensemble de manière qu'elles deviennent les normales d'une 

 famille de surfaces. 



Il n'est pas nécessaire, en effet, de supposer que le point {.c, y, z) soit le 

 pied de la normale aux surfaces cherchées. On peut admettre que ce pied 

 de la normale sera tout autre point de la droite, par exemple celui dont les 

 coordonnées seront 



j' — aX, Y — a Y, z — aZ, 



a étant une fonction à déterminer. Alors l'équation aux différentielles 



