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SÉANCE DU 22 NOVEMBRE 1909. 887 



totales à laquelle on sera conduit sera 



(19) Xd(x — y.X) ~hYdiy — xY} -t- Z f/(; — aZ) = o, 



et l'équation qu'il s'agira de vérifier sera 



(20) Xclix — aX) -hY d(y — c(Y) -^Zd(z — y.T) = ,3f/y. 



Si l'on tient compte de la relation entre les cosinus 



(21) X^+Y^-rZ'-=I, 



on voit (|ue la résolution du problème proposé se ramènera à celle de 

 l'identité 



( 22 ) X dx -H- Y dy -\-Zdz:=zdy. + pdy, 



que nous avons envisagée précédemment dans toute sa généralité. Nous 

 avons vu comment on déterminait les fonctions a, j3 et y. 



La résolution du problème posé par Transon exigera d'abord l'intégra- 

 tion de l'équation aux dérivées partielles (6). Mais il résulte des propriétés 

 que nous avons données plus liant que, lorsqu'on aura obtenu une solution 

 du problème, toutes les autres pourront s'obtenir par des formules qui ne 

 comporteront aucune intégration et contiendront une fonction arbitraire de 

 deux varial)Ies accompagnée de ses dérivées premières. 



7. C'est là le résultat que j'avais énoncé en 1870, mais je dois dire que 

 j'y avais été conduit, non par la métliode analytique précédente, mais par 

 de pures considérations géométriques. Voici quel était le raisonnement qui 

 m'uvail donné la proposition : 



Imaginons un complexe de droites, et supposons qu'on veuille déterminer 

 toutes les surfaces dont les normales sont des droites du complexe. Si 

 l'équation d'une de ces surfaces est 



(23) z=f{x,y), 



et si l'on désigne, suivant l'usage, par/j et y les dérivées de z^ on sera évi- 

 demment conduit à une équation 



F(x, /, z, p, 7) =0. 



On peut même préciser et dire que cette équation aux dérivées partielles 

 sera toujours réductible à la forme 



(24) V{j- -hpz, y -hqz, />, r/) = 0. 



Il résulte évidemment de la nature même du problème pioposé que, si 



