888 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Ton a une solution particulière de l'équation aux dérivées partielles, repré- 

 sentant une surface (S), on pourra toujours en déduire une solution plus 

 générale, contenant une constante arbitraire, en prenant une surface (S') 

 quelconijuc parallèle à (S). Car (S) et (S') admettent les mêmes normales.. 

 De là il suit immédiatement que, si l'on a une solution de l'équation (24) 

 contenant une constante arbitraire 



(25) 5 = /(.r, j, «), 



et définissant une famille de surfaces normales à toutes les droites du com- 

 plexe, on pourra en déduire, en remplaçant l'une quelconque de ces sur- 

 faces par une de celles qui lui sont parallèles, une solution qui contiendra 

 une constante de plus, c'est-à-dire une intégrale complète 



(26) z = ^{x, Y,ci,l}) 



de l'équation aux dérivées partielles proposées. Alors l'application de la 



méthode de Lagrange fournira l'intégrale générale. 



Il suffira de poser 



b-f{a) 



et de prendre l'enveloppe de la surface représentée par l'équation (2(J) 

 lorsqu'on fera varier a. Si l'on veut obtenir, non plus une surface isolée, mais 

 une famille de surfaces, il faudra introduire une constante dans l'expression 

 dey(a), qui deviendra, par exemple, /(a, h). Cela fournira la fonction de 

 deux variables employée dans notre solution analytique. 



8. Je reviens maintenant à cette première solution pour donner un théo- 

 rème qui s'y rattache directement. Considérons les normales à une famille 

 de surfaces représentées par l'équation 



(27) cr(.r, j)^, ;) ^ consl. , 



et proposons-nous d'appliquer ici les méthodes des n°* 2 et 3. Si nous 

 posons 



nous aurons ici 



' ~ >^I^ àx' \/I^ ày' ^ y/Ai à ^' 



et notre forme fondamentale deviendra 



\ f/.r + Y f/j -H Z (V; = --= du. 



v/Aff 



