SÉANCE DU 22 NOVEMBRE 1909. QoS 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur certains groupes de familles de Lamé. 



Note de M. J. Haa»;. 



En recherchant les familles de Lamé composées d'hélicoïdes, j'ai élé 

 conduit à me poser la question suivante : Peut-on trouver d^ux familles de 

 Lamé composées des mêmes surfaces placées dans des positions différentes? 

 La solution de ce problème se rattache étroitement à la recherche des 

 familles de Lamé composées de surfaces ég^ales. On le voit aisément, soit 

 en utiHsant l'équation du troisième ordre en ce, y, s qui régit les familles 

 de Lamé; soit en généralisant un peu la méthode que j'ai employée dans 

 une Note publiée dans les Comptes rendus du 3 août 1908. C'est cette der- 

 nière méthode que je vais brièvement indiquer ici. 



Au lieu de supposer que x, y, z soient seulement fonctions de u et v, 

 supposons-les en même temps fonctions de t. Nous admettrons même 

 que u, f, / soient les paramètres des surfaces qui constituent le système 

 triple orthogonal dont fait partie notre première famille de Lamé ; de sorte 

 que nous aurons 



„dx djc r, àx dx 



^ ' . du dl di- dt 



Ceci étant, si nous animons le trièdre Oxyz d'un mouvement dépendant 

 du paramètre t, nous sommes conduits à considérer, comme dans la Note 

 dont il vient d'être parlé, l'équation suivante : 



(2) Gdv -\- kdt — o, 



où l'on a 



ç^^^(àx\- ._.dx, 



en tenant compte de la seconde équation (i). 



Pour que les surfaces obtenues en fixant dans l'espace la surface t au 

 temps t forment une famille de Lamé, il faut et suffit qu'on ait identi- 

 quement 



(3) G- A-r— =0. 



du ou 



Or si nous considérons la surface de paramètre t„, la condition pour qu'elle 

 engendre une famille de Lamé dans le mouvement hélicoïdal ($„, rj„, ..., r^) 

 est précisément l'équation (3), où l'on remplacerait t par /„. 



