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arbitraire de deux varialiles, on aura fait une intégration première de léqualion 

 donnée. 



2° Si l'on pose w («,y, «,, u,a;,y, :) ^0 {iii, m, ,r, y, z), 9 désignant une fonction 

 arbitrairement choisie, ce qui constitue une équation aux dérivées partielles du 

 deuxième ordre, l'équation (i) se transforme également en une équation du second 

 ordre et l'on aura des solutions (et toutes les solutions de l'équation) en cherchant les 

 solutions communes à ces deux équations du second ordre. 



3° Il pourra arriver qu'on puisse disposer de l'arbitraire de s et de 9 de telle sorte 

 que ces deux équations soient identiques. On aura ainsi obtenu une équation du second 

 ordre dont toutes les solutions appartiennent à l'équation donnée, et si l'arbitraire qui 

 peut subsister dans l'équation ainsi formée est celui d'une fonction arbitraire de deux 

 variables, on aura encore obtenu une intégration première de l'équation. 



4° Nous avons ramené l'intégration de l'équation donnée à la recherche des solu- 

 tions communes à deux équations du second ordre. Si, à leur tour, ces équations sont 

 linéaires par rapport aux dérivées partielles du second ordre, on pourra appliquer à 

 nouveau le procédé de transformation indiqué et ramener l'intégration de l'équation 

 à la recherche des solutions communes à quatre ou même trois (si deux équations 

 peuvent être rendues identiques) équations du premier ordre. 



On aura ainsi reconstitué, pour ainsi dire, mais avec plus de généralité, 

 les équations qui, par élimination des fonctions arbitraires, ont conduit à 

 l'équation donnée. 



Toutes ces transformations sembleront peut-être d'une application moins 

 restreinte si l'on réfléchit à la façon dont s'obtiennent les équations aux 

 dérivées partielles. 



Nous avons pu faire l'application plus ou moins complète de tous ces 

 résultats à deux équations remarquables du troisième ordre : l'équation 

 déterminant les familles de surfaces à trajectoires orthogonales planes, 

 l'équation régissant les systèmes triples orthogonaux. 



Familles de surfaces à trajectoires orthogonales planes. — iSous avons pu, 

 dans notre Thèse de doctoi-at, mettre l'équation déterminant ces familles 

 sous la forme très condensée suivante : 



, , (ti di dt 



en posant 



M; ^3 — «3 C; 



{iv=u\ 4- u\+ ll\). 



Nous obtiendrons donc des solutions en posant 



(a) <nre)(«,, «2, (/,, M,a;, 7, c), 



et en cherchant les solutions communes aux deux équations du second 



