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La méthode Ingénieuse de Riemann nous a servi de modèle pour former une 

 méthode conduisant au théorème qui suit : 



I . La condition 



(,) hm -! -^. = (c>o) 



supposée remplie, la série de Dirichlet Za„e"''"* est convergente en tout point 

 régulier de la droite R(5) = c. De plus, la convergence est uni forme dans tout 

 intervalle de régularité. On sait que la même condition ( i ) est nécessaire pour 

 que la droite contienne au moins un point de convergence. 



Ce théorème comprend comme cas particulier celui de M. Fatou. 

 1° Nous posons (') 



a„e-V=c„, c, -t-CaH-. .. + c„ = s„, (j{l)=is„ pour l„<\^\„+^,. 



i'n<<^ 



(2) '^'*'(^)=2^"('-7r)'=o4X 'yO.)('.^-yY-^dl, 



k étant >o (entier ou non). 



Nous appelons les expressions (2) moyennes typiques {d'ordre X) relatives 

 aux séries de la forme 2a„e '»*. 



La formule (2) fait voir que les domaines de sommabilité correspondant aux di- 

 verses méthodes sont des demi-plans et que la sommabilité est uniforme dans tout 

 domaine intérieur au demi-plan correspondant (^). 



3° En remplaçant dans la condition (i) les sommes partielles de la série 



par les moyennes typiques de cette série, on obtient un théorème, généralisation de I, 

 qui comprend comme cas particulier le ihéorème suivant, démontré dans ma Thèse : 



II. La série entière Sc^s" est sommable par les moyennes arithmétiques 

 d'ordre k en tout point régulier de la circonférence de rayon i , si la condition 



(' ) Voir deux Notes insérées aux Comptes rendus, qui portent respectivement les 

 titres : i° Sur les séries de Dirichlet (21 juin 1909); 1° Sur la sommation des séries 

 de Dirichlet (5 juillet 1909)^ On peut aussi, dans le cas général, définir des moyennes 

 qui jouent le même rôle que les moyennes arithmétiques jouaient dans le cas particu- 

 lier ?in= logn. 



(^) Remarquons que A' désignant un nombre négatif quelconque, le théorème II de 

 notre première Note citée subsiste pour des séries quelconques, en y remplaçant les 

 mots « moyennes arithmétiques » par les mots « moyennes typiques ». 



