SÉANCE DU 22 NOVEMBRE 1909. ■ 911 



lim c„n~''= o est remplie. La même condition est nécessaire pour qu'il y ait 

 au moins un point de sommabililé d'ordre k sur la circonférence. 



4° La régularité n'est aucunement une condition nécessaire pour que le théorème 1 

 et sa généralisation soient valables. Pour le moment nous nous bornerons au cas par- 

 ticulier ^„= n ('). Considérons la fonction 



F(r, <p) =^ (a„cos«9 + b„ sinn9)r», 



où 



lima„«~*'= Hmft„«~*=o. 



Les théorèmes que nous trouverons pourront s'appliquer immédiatement aux séries 

 entières ('). Nous ferons les hypothèses suivantes : 



1° LimF(r, 9) = F(o) est bien déterminé pour 9,$(p!:o.,, sauf peut-être sur un 



ensemble de mesure nulle; 2° la fonction F(9)est intégrable au sens de M. Lebesgue; 

 3° on a uniformément 



lim / F(r,o)do =1 I F(cp)c/<p (9, £9^95 



)• 



Convenons de définir F(9)^o sur les points de la circonférence extérieurs à 

 l'arc (91, 92). Cela posé, la condition nécessaire et suffisante pour que la méthode des 

 moyennes aritliméti([ues d'ordre /. s'applique à la série 



^ rt„ cos « 9 + ^„ sin /i 9 



au point 9' (9, < 9'<; 92), c'est que cette même méthode s'applique à la série de 

 Fourier de F(9) au point 9'. On réussit donc aux points de continuité ou de discon- 

 tinuité de première espèce de la fonction F(9). Pour A"^i cela est évident d'après 

 un théorème célèbre de M. Fejér. J'ai dû montrer que pour o <, k <i\ les résultats 

 principauté de M. Fejér subsistent encore. 



Dans le même ordre d'idées, j'ai démontré le résultat qui suit. Considérons une 

 méthode de sommation qui ait les deux propriétés suivantes : i" elle fournit en tout 

 point régulier du cercle de convergence d'une série entière la valeur de celte série; 

 2° elle est au moins aussi générale que l'une des méthodes des moyennes arithmétiques 

 d'ordre positif. Supposons d'autre part que la série entière 



«l>(r, 9)=Vc„r«e'"? 



(') La méthode que nous suivons s'étend aisément au cas général. 



(^) M. Dienes a eu l'idée de combiner un théorème de M. Hadamard : 1° avec le 

 théorème cité de M. Falou, 1" avec notre théorème II, 3° avec des théorèmes de 

 M. Borel et de M. Lindelôf. Par cette idée, il parvint à quatre théorèmes nouveaux. 

 La combinaison des méthodes, au lieu de celle des théorèmes, l'aurait conduit à des 

 résultats plus généraux. 



