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Mais à quelles conditions un groupe faisant partie de E' fait-il partie de E? 



Étant donnée une courbe r qui admet un certain groupe G de transfor- 

 mations birationnelles en elles-mêmes, G fait correspondre entre eux un 

 certain nombre de points de r; j'appellerai cet ensemble de points un 

 système de points du groupe G relativement à r. 



Soit donc G un groupe de E' relatif à une certaine courbe r transformée 

 rationnelle àe f. 



Pour que G fasse partie de E, il faut et il suffit qu'il existe une unicur- 

 sale (m) telle qu'à chacun de ses points corresponde un système de points 

 de G relativement à r, et ceux-là seulement. 



On voit alors que les groupes G se répartissent en une infinité de familles, 

 dans chacune desquelles les substitutions fondamentales de chaque groupe 

 sont les mêmes. Il est difficile de caractériser davantage l'ensemble E; mais 

 on peut reconnaître si un groupe donné appartient ou non à E. 



Dans quels cas E contient-il un groupe résoluble? Si/ admet un groupe 

 de transformations birationnelles en elles-mêmes d'ordre q, on peut, par 

 une transformation birationnelle, la mettre dans la forme cp (^, yj') = o. En 

 posant rf = y]', on est ramené à la courbe de genre moindre ;p (^, f\) = o. 

 En raisonnant sur celle-ci coftime sur /, on voit que, si l'on arrive à une 

 dernière transformée unicursale, /sera résoluble. La condition, pour que/ 

 soit résoluble, d'admettre une pareille échelle de transformées aboutissant 

 à une courbe unicursale, est évidemment suffisante. Elle est aussi néces- 

 saire. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les singularités algéhrico-logarithmiques. 

 Note de M. et M"'* Paul Die.xes, présentée par M. Emile Picard. 



' 1. Dans une' Note précédente (i5 mars 1909), nous avons posé le 

 problème général suivant. Supposons qu'une fonction analytique définie 

 par 



est représentée dans l'étoile principale de M. Mittag-Leffler par une suite 



de fonctions entières F (a, x), de sorte que nous ayons pour ce quelconque 



à l'intérieur de l'étoile 



/(x) = lim F(a, a?). 



■ Soit maintenant x^ un point singulier de la fonction /(a?), situé à l'ori- 



