SÉANCE DU 29 NOVEMBRE 1909. 973 



gine d'une demi-droite exclue de l'étoile. Ce sont les seuls points singuliers 

 mis en évidence par une représentation de l'espèce indiquée. 

 Quelles relations existent entre les propriétés-limites de la suite 



(1) ' liniF(«,^„) 



et la nature de la singularité de /(a) au point x„. 



Nous avons donné déjà la solution de ce problème dans des cas plus ou 

 moins particuliers ('). 



Dans cette Note nous allons indiquer un théorème général et précis 

 relatif aux points singuliers de caractère algébrico-Iogarilhmique. Plus 

 exactement, supposons qu'au voisinage de Xg, /{x) puisse s'écrire 



l'p 



/(■'■) -^ rxV^+/.^^). 



X, 



où Pp (:; ) indi([ue un polynôme en :; de degré p, r un nombre positif quel- 

 conque et l'ordre de /, (x) en x„ est moindre que r. Par exemple, dans le 

 cas d'un point criti(|ue algébrico-logaritlimique ou dans celui d'un pôle. 



Formons la représentation de cette fonction par une suite de fonctions 

 entières donnée par M. Mittag-Leffler dans sa cinquième Note consacrée à ce 

 suiet (Acta mat hematica, t. XXIX, 1903, p. 173) en prenant pour fonction 

 entière sommatrice la fonction entière étudiée sous un autre aspect par 

 M. Lindelôf, 



Dans le Mémoire déjà cité nous avons démontré que c'est toujours 

 possible ; on a donc pour .r quelconque à l'intérieur de l'étoile 



^^'" '[log(«+i3)]'' 

 /(.r)=lim ■ — — = limF(«, x), 



(') \'oir à ce siijel noire Mémoire : Essai sur les singularités des fonctions ana- 

 lytiques, qui va paraître dans le journal de M. Jordan, et la Note : Sur les points 

 critiques logarithmiques, dans les Comptes rendus (26 avril 1909). 



C. R., 1909, 2' Semestre. (T. 149, N» 22.) l3o 



