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i„ ( .r ) =: a„ + a, .r -H . . . + a,, x'\ 



Le théorème général en question est donné par la formule suivante : 



Donc les propriétés limites de la sitile (i) soni en rapport direct avec la 

 nature de la singularité envisagée. Par exemple, dans le cas d'un point cri- 

 tique algébrico-logarithmiqne, nous pouvons déterminer successivement 

 tous les coel'ficients des polynômes P,(-) de même que les degrés p,- et /■,■ 

 des termes successifs, de sorte que nous pouvons caractériser complètement 

 la singularité en question, au moyen de F(a,.r„), c'est-à-dire, en dernière 

 analyse, à l'aide des coefficients a„ de la série de Taylor donnée. 



Inversement, si les limites successives (3), pour les différents p etrexislent 

 (en retranchant toujours le terme déjà calculé) il peut arriver qu'après un 

 nombre fini d'opérations on obtienne une limite finie pour F(a,a"o) — tl)(a,a7„), 

 où (JJ est la somme des termes retranchés. Dans ce cas, pour un nombre fini 

 de passages à la limite on a trouvé la partie principale de la fonction, c'est- 

 à-dire la partie qui devient infinie au point x^. 



On a ainsi, en particulier, exprimé par les coefficients a„, les conditions né- 

 cessaires et suffisantes (en nombre finï) pour quen x^, la partie principale de 

 la fonction soit algéhrico-logarit /unique (ou polaire). 



Remarquons enfin que, pour une fonction analytique écrite sous la forme 

 (2), donc sans que notre théorème cesse d'être applicable, le point x„ peut 

 être situé même sur une ligne singulière. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les opérations fonctionnelles linéaires. 

 Note de M. Frkdkuic Uiesz, présentée par M. Emile Picard. 



Pour définir ce qu'on entend par opération linéaire, il faut d'abord 

 préciser le champ fonctionnel. Nous considérons la totalité O des fonctions 

 réelles et continues entre deux nombres fives, par exemple entre o et i; 

 pour cette classe, nous définissons la fonction limite par l'hypothèse de la 

 convergence uniforme. L'opération fonctionnelle A|y(.r)], faisant corres- 

 pondre à chaque élément de 12 im nombre réel déterminé, sera dite continue, 

 sïf(.v) étant limite des /,(.*), A(/,) tend vers A(/). Une opération distri- 

 butive et continue est dite linéaire. On montre aisément qu'?//?r te/le opé- 



