SÉANCE DU 29 NOVEMBRE 1909. 975 



ration est aussi bornée., c'est-à-dire qu'il existe une constante Mj telle que pour 

 chaque élément f{.v) l'on ait 



(,) IM.AOJl MAXmax.|/(.0|. 



M. Hadamard avait démontré le fait remarquable que toute opération 



linéaire K[f(x)] est de la forme lim f k„(.r)f(x)il.v, les /.„('■) étant des 



fonctions continues ('). Dans la Note présente, nous allons développer 

 une nouvelle expression analytique de l'opération linéaire, ne contenant 

 qu'une seule fonction génératrice. 



Dans ce but, nous considérons l'intégrale généralisée 





(2) / f{,x)dcf.{x). 



Rappelons brièvement la signification de cette expression. On y entend 

 la limite de la somme V/(^,)[a(.7;,v, ) — a(j?,)], correspondant à une divi- 



sion de l'intervalle (0,1) en un nombre fini d'intervalles partiels; ^,- désigne 

 un élément, d'ailleurs quelconque de l'intervalle (.-c,, Xi^,). Le passage à la 

 limite n'est assujetti qu'à la seule condition que la longueur des intervalles 

 partiels tende uniformément vers zéro (' ). 



Nous n'avons pas besoin de développer les conditions les plus générales 

 pour (jiie l'intégrale (2) ait un sens. Il nous suffit de remarquer que, la fonc- 

 tion f(x) étant supposée être continue, l'inlégrale (2) existe pour toute fonc- 

 tion y. (x) à variation donnée, continue ou non. En ce cas, on a l'inégalité 



(3) / /{x)da{x) 



;: maximum de |/(.r)| x variation totale de y.lyX^. 



Après ces préliminaires, étant donnée une opération linéaire A [/(.>")], on 

 définira la fonction .\{x) par l'égalité A(;) = A[/(x-;$)J, oii l'on désigne 

 par/(.r;E) la fonction égale à. r pour o<a;<^età ^ pourH = Jf^= i- Or en appli- 

 quant l'inégalité ([) à la fonction continue /(a;) définie par les conditions 



/(x,) = o;/(^^^^') = sign[A(x,,.)-A(.r,)], /(.r) linéaire dans 



(') Sur les opérations fonctionnelles {Comptes rendus, 9 février 1908). Cf. aussi 

 M. Fréchet, Sur les opérations linéaires {Transactions American Math. Soc, 



t. V, 1904, p. 493-499-)' 



