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chaque demi-intervalle, nous parvenons à l'inégalité 



M, 



Il l'U résulte que les nombres deTwés de la fonction A(^^.r) existent et que 

 ces dérivés constituent des fonctions à variation bornée. 



Maintenant nous définissons une fonction a(:i) par les conditions sui- 

 vantes : pour o <; 07 <^ I , — a(.r) = un de ces nombres dérivés, par exemple 

 le nombre dérivé supérieur de droite; «(o) = — A[rt(x')], «(x-) désignant 

 la fonction de valeur constante i ; a(i) ^= o. La fonction «(a;) étant à varia- 

 tion bornée, l'intégrale (2) existe pour toute fonction continue /"(x). Parti- 

 culièrement si la fonction continue /(.r) se forme d'un nombre fini de traits 

 linéaires, une légère transformation suffit déjà pour voir que l'intégrale (2) 

 est égale à A[y(.r)]. En remarquant que chaque fonction continue est 

 fonction limite de telles fonctions et en s'appuyant sur l'inégalité (3) on 

 conclut que le même fait subsiste pour toute fonction /'(•'). On a donc le 

 théorème : 



Etant donnée l' opération linéaire A |y^(a7)J, on peut déterminer la fonction 

 à variation bornée a(.r), telle que, quelle que soit la fonction continue f{x^y 

 on ait 



k[f{.r)]^f f{x)dc^{x) 



"^0 



Remarquons encore que la propriété exigée dans notre théorème ne déter- 

 mine pas uniquement la fonction o/.(.x'). On se rend compte de la nature de 

 celte indétermination par le théorème suivant : Pour que l'intégrale (2) 

 s'annule pour chaque élément f(x) de ù, il faut et il suffit que la fonction à 

 variation bornée a(jc) soit constante, sauf peut-être pour un ensemble dénom- 

 brable ne contenant pas les points o, 1 . On peut aussi profiter de cette indé- 

 termination pour rendre oi{x) telle que sa variation totale soit la plus petite 

 possible. 



Dans cet ordre d'idées, nous sommes aussi arrivé à résoudre un pro- 



(') Dans la lilléialure, celle nolion d'intégrale remonte à Stieltjes, Fieci te relies sur 

 les fractions continues (Annales de Toulouse, t. VIII, 1894)- M. Jules Kônig voulut 

 bien me communiquer qu'il s'en était servi bien plus tôt dans son cours, mais il ne 

 rédigea sur ce sujet qu'une seule Note, parue en hongrois : Matheniatikai es Tennés- 

 ^ettudomànyi Ertesitô, 1897. 



