SÉANCE DU 29 NOVEMBRE rfjOC). 977 



blême bien intéressant, traité déjà, dans des conditions plus spéciales, par 

 M. Haar {Dissertation, Gôttingen, 1909). Voici notre résultat : 



Soient A,(/), k.,( f)^ ..., A(/) des opérations linéaires, et soient a,(.r), 

 x^Çx), . . ., O'-(^'p) leurs fonctions génératrices ; nous les supposerons telles que 

 leur variation totale soit la plus petite possible ; de plus, nous supposons 

 a, (o) = ao(^o) =. . .= 5'-(o) = o. Dans ces conditions, afin que pour tout 

 élément f{x) de Q, la suite infinie des A„(f) tende vers A(/), il faut et il 

 suffit : 1° qu'on ait 



.1 /.s 



/ a(.i) c/a- = lim / cf.„(x) d.v (o<ïli) 



a(i) = lim a„(i); 



1° que les variations totales des fonctions a„(:r) ne dépassent pas toute borne 

 finie. 



(rrâce à ce théorème, on peut tout à fait caractériser la fonction à deux 

 variables qui intervient dans l'expression analyticpie de la transformation 

 fonctionnelle linéaire, faisant correspondre, d'une manière distribulive et 

 continue, à chaque élément de ii, un élément déterminé de la même classe 

 ou d'une autre classe analogue. Par le même théorème on voit aisément 

 comment notre expression esl liée à celle de M. Hadamard. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la détermination des intégrales de l'équation 



à- Il 0^ Il au , au 



^ ' da-- <)y' OX <)y •' 



par leurs valeurs le long d'un contour fermé dans le cas des pointes. Note 

 de M. L. LiciiTExsTEix, présentée par M. Kmile Picard. 



Dans une Note récente (' ), j'ai démontré, en poursuivant les idées de 

 MM. D. Hilbert et 1"'. Picard, l'existence d'une solution de l'équation (i), 

 continue avec ses dérivées partielles des deux premiers ordres, à l'intérieur 

 d'une aire limitée par m courbes S,, ...,S,„ sans points singuliers-et 

 prenant des valeurs données au bord, ses valeurs étant fonctions continues 

 de l'arc, sauf en un nombre fini de points, où elles subissent des change- 

 ments brusques. Je voudrais aujourd'hui considérer le cas d'une aire Ta 



(') Comptes rendus, 18 octobre 1909. 



