Q'yS ACADÉMIE DES SCIENCES. 



contour simple possédant un sommet unique. Soit(a;„, j„)le point singulier 

 du contour, a l'angle des courbes frontières au point (j?o> J'o)(i* <C ^c <C 2~). 

 Tout en réservant l'étude approfondie du cas général pour une autre 

 occasion, je supposerai de plus que l'on peut faire une représentation con- 

 forme de l'aire T sur l'aire du cercle (C) \- -f- Y- = i au moyeri.d'une fonc- 

 tion analytique 



(2 ) Z = \ -H /Y = R^''> = Z„ + ( ; - ;„ f !• L( : - -^o)^|, 



P(=) désignant une série entière [P(o) ^ oj. 



La fonction cherchée U(a;, r) est une solution d'une équation aux 

 dérivées partielles 



d'-U d'-M ,d\i „dU „.- ^ 



continue avec ses dérivées des deu\ premiers ordres à l'intérieur du 

 cercle \- + Y- = i, les valeurs de cette solution au bord étant une fonction 

 connue de l'ai-c, continue sauf en un nombre fini de points, où elles subissent 

 des changements brusques. 

 On peut poser 



^^R'^ '|.(X,Y), ^---R" J>=(X,Y), F=R '= ''^.(X.Y), 



les fonctions bornées 'j/,, . . ., ■j', devenant indéterminées au point (X„, ^ „). 

 Tous les raisonnements de ma Note citée plus haut étant valables sans aucun 

 changement pour l'équation (3), il ne reste qu'à établir l'existence de la 

 solution de l'équation fonctionnelle de M. Fredholm 



(5) U(X,Y)=-^yy'j ^[A(£,-l)G(X,Y;ï,r))] 



4-^[B(^,-fl)G(X,Y;t,Y,)]^G(^,Y,)G(X.Y;|,-fl)| 

 X \^{l,-0)dld-n'--^ CI r.(X. Y;t:,-/i)F(4,-o)r/i;rfo -+- ('(X, Y) 



xU(f,-o)^£c?-o4- 9(X.Y), 

 G(X, Y; ^, rj^ désignant la fonction classique de Green, attachée au cercleC, 



