SÉANCE DU 2() NOVEMBRE I909. 979 



f(X, Y) la fonction harmonique régulière dans C, égale à U(X, \) sur le 

 contour. 



L'équation (5) équivaut à l'équation fonctionnelle obtenue par l'ité- 

 ration effectuée deux fois 



(6) 



U(X, Y) =//[Xo - 1?+ (Y„ - -nY-T' '/.(X, Y; ï, -n) 



X U (£, Y)) 'lidri 4- 9,(X, Yj, 



/.(X, Y; H, Y]) et o.jfX, Y) désignant des fonctions continues. 



On o])scrve qu'il n'est pas possible d'arriver par une itération répétée à 

 un noyau partout continu. Toutefois, et cela est un fait remarquable, la 

 méthode de M. Frcdholm reste applicable à l'équation fonctionnelle (6). 



Posons, pour abréger, 



ij{s,i) = [{s-\,y- + {t — \,y-Y'' 



et considérons l'expression de M. Fredholm 



(7) 



2/'" 

 ^A„,(\,Y;5,0 



F(\, Y;., /)=. "-='' " . _ 



^^ ni I 



Dans le cas actuel, on peut poser 



(8) A„,(X,Y;i,0 



-.p{s:t) 



/•■■/ 



/,(X,Y;,v, Us,.lr,s.t) 



/j(X, Y; *,„,/,„) /.fi-,, <i ;■«„,. <„,) . 



X/)(i,, ti)p{s.,, /•)■■■ l'{s,n, l,u)'ISi dl^ . . . fis,,, lU„„ 



y 2 i^m » 'm '1 ^11 ^1 } 



(9) 

 Soit 



-U 



A,„.t{.i,t;.'!,t)dsfl/. 



M = max. l/aX, Y; .s, /) |, p —jj l^{'^, ') ^g dr. 

 Alors, d'après un théorème bien connu de M. Hadamard, on a 



(10) 



A„,( \,> ;.v. I) 



P(s,l) 



<(w4-i) - iM'"^'/)'", \\,„\<iii' M"'p 



F(X, Y;.;, /) 



p{.i, t) 

 ments se poursuivent d'eux-mêmes 



est une fonction inéromorphe du paramètre X. Les raisonne- 



