SÉANCE DU (i DÉCEMBRE I909. I027 



d'ordre n — -i en .c, v, z,l. Le choix des fonctions rationnelles R,- peut se 

 faire d'une inlinité de juanières. 



Nous dirons qu'une valeur de j' ou de - est critique de la première sorte 



pour M, si, pour cette valeur, la forme bilinéaire classique formée avec les 

 parties réelles et imaginaires des périodes s'annule. Dans ce cas R,- s'annule 

 identiquement pour cette valeur de r. Il peut arriver exceptionnellement 

 (pai' exemple s'il y a un point conique) que R, s'annule identiquement sans 

 (jue notre forme bilinéaire s'annule. On a alors une valeur critique apparente 

 par opposition aux valeurs critiques effectives. Les valeurs critiques de la 

 seconde sorte seront celles pour lesquelles R,; devient infini. 



La condition pour qu'il existe des intégrales de dillérentielles totales de 

 première espèce, c'est qu'on puisse choisir les fonctions R, de telle façon 

 qu'il y ait une ou plusieurs intégrales m, dépourvues de valeurs critiques. Le 

 nombre des intégrales de diflérentielles totales de première espèce se trouve 

 ainsi rattaché à la dillérence entre le genre p des sections planes K et le 

 nombre des surfaces d'ordre // — 3 que l'on peut mener par la courbe 

 double de la surface. 



Considérons une courbe algébrique quelconque (> tracée sur la surface 

 et supposons que cette courbe algébrique rencontre les sections planes K. en 

 m points variables. Faisons la somme des valeurs de//, pour ces m points, et 

 soit Vi cette somme ; ce sera évidemment une fonction de j', de sorte que la 

 courbe C se trouve caractérisée par/j fonctions de y : 



Ij'étude analytique de ces fonctions permet d'abord de démontrer le 

 théorème de MM. lùiriques, Castelnuovo et Severi; elle conduit ensuite à 

 une classification des courbes tracées sur une surface algébrique; on voit 

 que toutes ces courbes peuvent se déduire par une construction simple d'un 

 nombre fini de courbes que l'on peut appeler courbes primitives. Pour une 

 surface du troisième ordre, par exemple, il y a six courbes [)rimitives qui 

 sont (j des 27 droites. Suivant le nombre des valeurs ciiticjues, on peut 

 déterminer le nombre des courbes primitives ou seulement un maximura de 

 ce nombre. 



Pour l'étude des systèmes linéaires, il conviendrait d'adjoindre aux inté- 

 grales Ui un certain nombre d'intégrales de troisième espèce et de se 

 servir des procédés analytiques employés par Clebsch et Gordan à propos 

 de ce qu'ils appellent das enveilerte Umkehrprobtem. 



