Io44 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



la fonction aux divers points du cercle de convergence ; par exemple, ( i — x)~^ 

 est d'ordre w sur le cercle de rayon i. M. Borel a montré que ce fait n'est 

 pas général (Séries à termes positifs, p. 77).. Mais, lorsque les points sin- 

 guliers ne sont pas isolés, il osl néressairc de préciser le degré dinfiniliide. 

 Si les sommes 



S„ ^ «1 -i- a» H- . . . -H a„ 

 restent finies, et si £ > o, la série 



1 1 



est convergente. Si cette série est divergente, les sommes S„ ne restent pas 

 toutes finies. 



Il existe un nombre j9, positif, négatif, ou nul, tel que la série ^ -^ soit 



convergente, quel que soit z ]> o, et que ^ -^ ne reste pas fini. 



Au point X = e^' correspond un nombre p tel que la série 'S — ^ e"^' soit 

 convergente si î>o, divergente si £'<^(). On a toujours 



',) — I Ip loi. 



Si ce point n'est pas singulier, /> = w — i . A chaque argument corres- 

 pond un nombre />; soit P le plus grand de ces nombres, ou leur plus 

 grande limite. 



Il existe, de même, un nombre q tel que la série '^—^, soit convergente 

 ou divergente suivant le signe de t. On a, dans tous les cas, 



oj — iSplP Sq l'j). 



D'autre part, si les sommes y -f restent finies, a étant positif, la fonc- 



1 



oc 



tion (i — xy "S a^x" reste finie lorsque x tend vers i par un chemin inté- 







n 



rieur et non tangent au cercle de convergence. Inversement, si ^ -^ ne 



00 



reste pas fini, (i — xY'^ ^ a^x" ne reste pas fini sur le cercle de conver- 

 gence. 



