SÉANCE DU 6 DÉCEMBRE 1909. Io45 



Supposons a)>i; si y? est supérieur à co — i, on peut dire que le degré 

 d'infinitude au point ê' est ce nombre /), qui rend convergente la série 



V -£l-e"^', de sorte que {ê' — xy^"- V a„a;" reste fini pour ^7 = ê' . P est 



l'ordre d'infinitude maximum aux points du cercle de convergence. Si 

 w<;i et si (0 — I </><o, on peut encore considérer/? comme le degré 

 d'infinitude au point ê\ à condition que la fonction et ses dérivées, d'ordre 

 inférieur ou égal à — />, soient nulles au point e®', ce qu'on obtient en ajou- 

 tant un polynôme à cette fonction. 



Si y < o), on a P •< o>, quels que soient les arguments des coefficients a„. 



Cela a lieu, par exemple, pour les séries à lacunes ^^ a„ a;"< telles que 



L(rtv+, — «■/). j 



r-^ ne tende pas vers zéro. 



Mais on peul aussi avoir P<7, c'est-à-dire qu'une série peui èlre convergente en 

 tous les points du cercle de convergence, quoique la série des modules des coefficienls 



J , où -< y.^\ est convergente pour 



1 



2X" r- 



/(iil un. .3.10 



ne reste borné dans le cercle de convereeuce que si ai -r- Si - < a < 7-, ce module 



peut dépasser tout nonabre donné, à l'intérieur du cercle de convergence, quoique la 

 série soit convergente en tout point de ce cercle. C'est que, sur le cercle, elle est 

 discontinue et augmente indéfiniment au voisinage de Ô =: o, mais la série a une 

 valeur finie pour a;::^ 1, 9=:o. 



On voit que, lorsque les points singuliers sont en nombre infini, il faut 

 distinguer le degré d'infinitude maximum aux points singuliers du cercle 

 de convergence, et le degré d'infinitude de la fonction, [qu'on pourrait 



considérer comme le plus petit nombre r tel que la fonction ^ -^.x" ait un 



1 

 module borné à l'intérieur du cercle de convergence. Par exemple, pour la 



fonction ^ e'^'^a?", on a 



3 



W = ^ = I , '■ = 7 ' 



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et l'ordre d'infinitude maximum aux points singuliers du cercle de conver- 

 gence est 



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