lO^Ô ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la représentation des solutions d'une équa- 

 tion aux différences finies pour les grandes valeurs de la i^ariahle. Note 

 de M. Galbrciv, présentée par M. Painlevé. 



La recherche des solutions de l'équation aux différences finies 



(i) A„/(^ + A-)-H A,/(j--H A-— !)+...+ Ai./(x)--=o, 



où A; est un polynôme en x de degré/?, se ramène, au moyen de la transfor- 

 mation 



/(cv)=j .{z)z-'clz 



à la résolution de l'équation différentielle 



(2) 5/'R„(.)^' + .-''-'R,(..)^^+... + R^(.-).' = o, 



où R, est un polynôme en z de degré k. Dans une Note précédente (' ), étu- 

 diant le cas où les solutions de (2) sont toutes régulières au voisinage de 

 l'origine et où les racines a,, a,, . . ., a^ du polynôme R^ (z) sont simples 

 et finies, j'ai montré qu'au moyen de la solution de l'équation (2) non holo- 

 morphe et régulière au voisinage du point a,, on pouvait former une 

 solution fi{x) de (i) qui, pour les grandes valeurs de x, est représentée 

 par une expression de la forme 



et j'ai indiqué comment les différentes expressions de ce genre se permutent 

 entre elles pour représenter une même fonction /,• (a;) quand l'argument 

 de .r varie de o à 211. Si certaines racines du polynôme Ro(s) deviennent 

 nulles ou infinies, les racines finies restant simples, les mêmes résultats 

 subsistent pour la fonction y,- (ir) formée au moyen de la solution régulière 

 au voisinage du point oc,-; toutefois, si les solutions de (2) ne sont pas toutes 

 régulières au voisinage de l'origine, cette fonction admet comme pôles non 

 seulement les points — z^ — p, /> étant un entier positif ou nul, mais aussi 

 les points — ^-q-^p-, et la direction positive de Ox est singulière au même 

 titre que la direction négative. 



(') Comptes rendus, 5 avril 1909. 



