SÉANCE DU 6 DÉCEMBRE 1909. 1047 



Soit %i une racine d'ordre de multiplicité -de Ro(s)au voisinage de 

 laquelle toutes les solutions de (2) restent régulières, et soient cp,,, o,,, ..., 

 f^fin, les m solutions de (2) non holomorphes au voisinage de a, obtenue par 

 la méthode de Fuchs; la fonction 



'"■ ■ 7 = 1 ■• '-' 



est une solution de l'équation (i). Dans cette expression les contours L„, L,, 

 les fonctions '-p^,-, u ont même définition que dans Texpression analogue 

 contenue dans la Note précédente, et j3^ est le coefficient de v^ dans l'expres- 

 sion de Ort(Y])— cprt(y]) au voisinage d'un pointa en fonction de c, , t-j, . ..,Vp 

 intégrales régulières au voisinage de l'origine, obtenue par la méthode de 

 Fuchs; 0,^(^7]) était ce que devient s,-;t(Y]) par une rotation autour de a,. Je 



pose 



Oik— (- — a,)'''[x, -h /,L(c — a, j -(-. . . -r- y„ H 4: — 3!, )■'-']. 



■ et je désigne par _{ _^, P{,-, J ^i P^.. • • • les expressions déduites des fonc- 

 tions {z — 2'-,)''*'X<' •••' P^'' ^^ procédé indiqué dans la Note précédente 

 pour former -^S'„. Pour les grandes valeurs de la variable l'expression 



joue dans la représentation de fn^i'x) le même rôle que joue l'expression K, 



dans le cas où a, est racine simple. D'autre part, j'ai montré que, quand a, 



est une racine simple, la fonction /y ( .r) relative à un point a^ est représentée 



asymptotiquement dans un certain angle par une expression K, contenant a* 



en facteur; si a, est une racine multiple au voisinage de laquelle les solutions 



de (2) sont régulières, la fonction /"y (a;) est représentée dans le même angle 



par 



a,K,,-i- <7jK,., -(-. . .+ «,„K.,„,, 



où a,, . . ., rt„, sont des constantes. 



Les mêmes résultats subsistent si les solutions de (2) sont irrégulières au 

 voisinage de l'origine; mais alors la direction positive de l'axe des x est 

 singulière, comme dans le cas où a, est racine simple. 



