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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les ensembles parfaits discontinus. 

 Note de M. Arnaud Dexjoy, présentée par M. Painlevé. 



Je rappelle que j'ai, dans ma Note tlu 2 novembre dernier, défini une 

 notion qui se présente naturellement au sujet des ensembles parfaits discon- 

 tinus à deux dimensions, quand on les envisage dans leurs rapports avec la 

 théorie des fonctions analytiques. J'appelle sinuosité de l'ensemble en un 

 point M un nombre a (M) tel que, à tout nombre z correspond un nombre p 

 (e et p positifs), et, intérieurement au cercle de centre M et de rayon p : 

 i" quels que soient les points A et B extérieurs à l'ensemble, il est possible 

 de les joindre par un chemin ne rencontrant pas l'ensemble et de longueur 

 moindre que [i -i- a(M) -1- £]AB; 2° il existe un couple de points A et B 

 qu'il est impossible de joindre par un chemin évitant l'ensemble et dont la 

 longueur soit inférieure à [i + a(M) — £ ] AB (AB = segment rectiligne 

 AB). S'il n'existe pas de nombre a(M) positif ou nul satisfaisant à cette 

 condition, la sinuosité est infinie. 



J'ai affirmé, sans pouvoir le démontrer, ce théorème capital : la sinuosité 

 d'un ensemble d'aire Jiulle est partout nulle. J'ai seulement démontré qu'en 

 chaque point, elle ne peut être que nulle ou infinie. Occupons-nous des en- 

 sembles d'aire non nulle. 



Il est tout d'abord évident qu'ils peuvent avoir une sinuosité nulle. Il suffît 

 de strier le domaine contenant l'ensemble par une infinité de bandes d'aire 

 totale arbitrairement petite, et denses, pour leurs directions et parleurs po- 

 sitions pour une même direction. Dans la Note citée plus haut, j'ai défini un 

 ensemble E„ dont la sinuosité est finie (pour l'ensemble E, considéré, je 

 supposais en outre 6A<| i). Voici un exemple d'ensemble dont la sinuosité 

 est partout infinie. 



Soit un domaine fermé B, à connexion simple, un carré par exemple. Je 

 perce ce bloc B, par un chenal C, qui le divise en deux blocs Bj et B3. Je 

 supposée, assez sinueux et assez fin, pour que, si l'on veut joindre deux 

 points extérieurs à B, par un chemin ne rencontrant ni B, ni B3, il soit plus 

 court de faire le tour de B, que de traverser B, par le chenal C,. Sur cha- 

 cun des blocs B^ et B^ j'opère comme sur B,. Ainsi, je divise Bj en deux 

 blocs B4, B5 par un chenal C.,, tel que, si l'on veut joindre deux points 

 extérieurs à B^ et B3, en évitant B3, Bj, B^, il soit plus court de contourner 

 B, et B3 que d'utiliser le chenal C^ (sans que C, perde sa propriété relati- 



