SÉANCE DU 6 DÉCEMBRE I909. 1049 



vemeiil à B, ),.... Si l'on suppose que la plus {,'rande dimension du bloc B„ 

 tende vers zéro pour n infini, les points communs à une infinité de blocs B 

 forment un ensemble parfait discontinu E. On voit aisément que, si deux 

 points P et Q extérieurs à E sont intérieurs uniquement, le premier aux 

 blocs B,, By, . . ., B/,, le second aux blocs B^, B,„, . . ., B„, pour étudier la 

 limite inférieure du chemin PQ extérieur à l'ensemble, on peut supposer 

 que ces chemins n'empruntent que les chenaux C,, . . ., (],^, (]/, ..., C„. Si 

 le périple de chaque bloc extérieurement aux autres reste supérieur au pé- 

 riple de B,, il y a au voisinage de tout point de E des couples de points dont 

 la distance extérieure à I'] est supérieure à un nombre fixe. La sinuosité est 

 donc infinie. 



Il y a même sur E une infiniié dense (et sans doute d'aire égale à celle de 

 E) û?r points tels que tout chemin extérieur à E et tendant vers l'un d'eux a 

 une longueur infinie. 



Une fonction analytique possédant un tel ensemble de singularités peut, 

 a priori, avoir une dérivée bornée sans être elle-même bornée. La condition 

 I F'(:;) I <; X- n'entraîne pas la conséquence que F(^ ) satisfasse à la condition 

 de Lipschitz. 



Il semble cependant que la limitation en module de F'(s) entraine tou- 

 jours pour F(s) le fait d'être d'un ordre inférieur à celui de o~' Lo~', si 

 est la distance de s à l'ensemble. 



.11 est facile de voir f{ue tout ensemble parfait discontinu à deux dimen- 

 sions peut être obtenu par bi- ou pluripartition de blocs par des chenaux. 

 Cette génération s'obtient d'ellu-même quand on détermine le domaine 

 balayable par un cercle de rayon fini et fixe A, dont le contour est arrêté 

 par les points de E. Si l'on fait décroître A, la connexion de ce domaine 

 ainsi défini augmente indéfiniment. A chaque accroissement d'une unité au 

 moins dans la connexion correspond une pluripartition d'un ou plusieurs 

 blocs. 



Cette détermination analytique des ensembles peut être remplacée avan- 

 tageusement dans le cas d'un ensemble d'aire partout non nulle, par une 

 synthèse analogue à celle qui m'a donné l'ensemble de longueur finie E, de 

 ma dernière Note. Dans un bloc, on trace une ligne le divisant en deux 

 parties, que l'on sépare l'une de l'autre par un déplacement mutuel de gran- 

 deur arbitrairement petite, ne modifiant pas les aires des deux parties. Sur 

 les deux blocs séparés, on opère de même, et ainsi indéfiniment. Si l'on 

 suppose un certain degré d'uniformité dans la convergence des déplace- 



C. R., 1909, 2* Semestre. (T. \i'.), N» 23.) I^O 



