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nients successifs des blocs, l'aire totale des blocs qui est iavariable est aussi 

 celle de l'ensemble limite E. Une propriété se conservant à la limite et vraie 

 pour l'ensemble des blocs à partir de la /?■''""' opération, sera vraie pour E. 



Cette construction donne peut-être à la notion d'ensemble parfait dis- 

 continu d'aire partout non nulle [)lus de clarté que la conception des blocs 

 infiniment fissurés que j'indiquais plus haut. ' 



L'extension à un nombre quelconque de dimensions est évidente. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les singularités discontinues des fonc- 

 tions analytiques uniformes. Note de M. D. PompKiu, présentée par 

 M. Painlevé. 



1. Considérons une fonction analytique uniforme F (s) dont les points 

 singuliers "( forment un ensemble E parfait partout discontinu. Je suppose 

 de plus que la fonction F(^) "^^* bornée dans le voisinage de E. 



Dans ce cas, on sait que la longueur de l'ensemble E est nécessairement 

 partout non nulle. On sait aussi, par des exemples, que si la longueur de E 

 est partout infinie ( Vaire de E pouvant être nulle ou finie) la fonction 

 bornée F(s) peut être continue sur l'ensemble E des points singuliers. 



Restant dans le cas général où l'on sait seulement que F(s) est bornée, 

 traçons un contour fermé C ne passant (jue par des points z (points régu- 

 liers) et contenant dans son intérieur des points '( (points singuliers). Ce 

 contour C est d'ailleurs, aux conditions énoncées près, un contour fermé 

 quelconque. D'autre part, on sait que, E étant un ensemble partout discon- 

 tinu, on peut tracer des contours C dans toute région contenant des 

 points C si petite (jue soit cette région. 



Cela posé, formons l'intégrale 



\=j¥{z)dz. 



Je vais démontrer que dans aucune région R, si petite quelle soit., conte- 

 nant des points t, les intégrales I ne peuvent pas être toutes nulles . 



En effet, supposons d'abord qu'il s'agisse d'une fonction F(3) continue 

 sur E. Les intégrales I étant, dans la région considérée, toutes nulles, on en 

 déduit facilement la nullité d'une intégrale quelconque 



=j'V{u)du, 



