SÉANCE DU 6 DÉCEMBRE I909. lOOI 



relative à un contour fermé Y quelconque (c'est-à-dire tracé sans éviter les 

 points ^; la lettre u désignant un point quelconque sans distinguer si c'est 

 un z ou un Z,), ce contour F étant tracé dans la région considérée R. 



Mais alors, la fonction F(s) étant continue dans R et, dans cette même 

 région, toutes les intégrales J nulles, en vertu d'un théorème de Morera , 

 F(^) serait holomorplie dans R, ce qui est contraire à l'hypothèse. 



Il est donc démontré que, dans la région considérée, les intégrales I ne 

 peuvent pas être toutes nulles et que les valeurs des T caractérisent les sin- 

 gularités contenues dans R. 



Passons au cas où E a une longueur finie. Dans ce cas, la démonstration 

 se fait à l'aide de l'intégrale de Cauchy et Ton montre aussi que les valeurs 

 des I caractérisent les singularités de F(z) contenues dans R. 



Mais dans le cas d'un ensemble de longueur finie, on démontre aussi que 

 la fonction dérivée F'(:; ) ne peut pas être bornéedans aucune région conte- 

 nant des points t. En effet, les intégrales 



l'=J'F'{z)dz 



sont toutes nulles et, si V"{^) était bornée, elle serait pailout holomorplie, 

 résultat absurde. 



II. Considérons maintenant le cas où l'ensemble E a une longueur nulle. 

 Dans ce cas, F(s) ne peut pas être bornée et, en général, les intégrales I 

 peuvent être toutes nulles sans aucune conséquence sur F(s). 



Mais cela montre seulement que la propriété de F(;) de ne pas être 

 bornée, dans le voisinage de E, n'est qu'un caractère négatif insuffisant 

 pour distinguer une classe de fonctions uniformes. Et, en effet, dès qu'on 

 précise Tordre d'infiniludo de F (:;), dans le voisinage de E, on peut 

 définir des classes de fonctions uniformes dont les singularités sont caracté- 

 risées par les intégrales I. 



GÉOMÉTRIE INFJISITÉSIMALE. — Familles de Lamé composées d'hélicoïdes. 



Note (') de M. J. Haag. 



La détermination de ces familles de Lamé est une application élégante 

 des [)ropositions que j'ai établies dans ma précédente INote. \oici comment 

 on peut procéder, liapportoiis chaque hélicoïde H à un trièdre mobile, dont 



(') lieçiie dans la séance du 22 novemljie 1 



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