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Tave des :; sera l'a.ve de H, rorig-ine cl le plan des zx restant arbitraires. Les 

 équations de l'hclicoïde pourront se mettre sous la forme (* ) 



(0 



où G et Z sont certaines fonctions de ii ot /, Iv une fonction de t. Nous suppo- 

 serons que les lignes v =^ const. sont des lignes de courbure. 



Animons le trièdre Orvz d'un certain mouvement dépendant de /. 

 Soient ^, y), 'Ç, p, q, r les composantes de ce mouvement. (Il est à remarquer 

 que C et r peuvent être cboisies arbitrairement en fonction de t.) En appli- 

 quant toujours la méthode qui repose sur la réciproque du théorème de 

 Dupin, on est conduit à considérer l'équation 



— (/ftsiii (5 + r) + [ï -+-r/(Z + Al')] 



«,ucos(9 -h (') + \j—p{7j + /iv)] 



(' + Il [p sin {9 -{- (•) — cy cos( 9 4- c)] 



En décomposant ce déterminant en deux autres, suivant la première 

 colonne, on voit de suite que cette équation est de la forme 



A^ + B=.o, 



avec 



B = (A'e -)- C) C + F + Dcosc 4- Esinc. 



F, A et C sont des fonctions de u et î; D et E sont des fonctions linéaires 

 de e dont les coefficients dépendent de m et / et sont linéaires et homogènes 

 par rapport k p, (/, ^, Y). (Il est inutile d'en savoir plus long sur ces fonc- 

 tions.) 



Pour que nos hélicoïdes forment une famille de Lamé, il faut et suffit 

 que Ton ait 



(') Ceci ocarle les cylindres de révolulioji; mais on connail les familles de Lamé 

 coniposées avec ces surfaces. 



