SÉANCE UU 6 DÉCEMBRE I909. lo53 



Cette relation devant avoir lieu quels que soient m, i> et /, nous devons 

 avoir en particulier 



' 1)11 \,\/ âti \ A / ^'" 



du 



Mais, d'après les propriétés des coefficients l) et E, les équations (3) sont 

 précisément les seules qui subsistent de l'équation (2) quand on y fait 



Si donc nous avons une famille de Lamé pour un certain mouvement du 

 trièdre, nous en aurons une autre pour un certain mouvement de verrou 

 autour de Oz, mouvement qu'on peut d'ailleurs supposer réduit au repos, 

 d'après ce qui a été dit au début. Si l'on applique alors les propositions 

 établies dans notre dernière Note, et si l'on remarque qu'un hélicoïde ne 

 peut engendrer une famille de Lamé dans un mouvement hélicoïdal autour 

 d'un axe autre que le sien propre ('), on en conclut que tous les hèlicoïdes 

 doivent avoir même axe. ( Ceci s'applique évidemment aussi aux surfaces de 

 révolution.) S'ils ont aussi même pas, on retombe sur les familles de Lamé 

 que j'ai déterminées dans une Note du i5 mars 1909. S'ils n'ont pas même 

 pas, la première équation (3) fait dis|)araitre 'C de la seconde. On conclut 

 de là et de notre dernière Note que cliaquc hélicoïde H doit engendrer une 

 famille de Lamé dans une translation suivant son axe. 



Or, dans notre Note du i5 mars 1909, nous avons donné tous ces hèli- 

 coïdes. Pour les obtenir, il suffit de faire p = o dans les équations de la 

 page 694. Si l'on suppose en outre p, p' , p" fonctions d'un même para- 

 mètre t, on reconnaît que. pour que les surfaces obtenues forment une famille 

 de Lamé, il faut et il suffit que les deux produits pp et pp" soient constants. 

 On peut alors prendre 



1 , „ 



p=:-, /j=^niil. p^zm.jt. 



Si, en outre, l'intégrale / — qui figure dans w est prise entre o et a, et 

 si l'on prend 



et 



/ 



,. , (nii-i- m,~t- ni.m^t-) 

 u —p(ix) ^ — 



Il ch. — — ^ — ' — y. -^ / ? ( ( a ) -f- T. 



(') Noir iioUe N'oie du i août tgoS. 



