SÉANCE DU 6 DÉCEMBRE 1909. Io55 



une surface de Kummer singulière. Plus lard, M. Hulchinsoii a indiqué 

 • pour la surface de Kummer générale deux groupes de transformations ('). 

 Il rapporte d'abord la surface à un tétraèdre de nœuds formant un qua- 

 druple de Gôpel; il est alors loisible de choisir les rapports des coordon- 

 nées Xi(i^ I, 2, 3, 1) de façon que la surface soit invariante pour la trans- 

 formation S : a;^= a*:' . En la combinant avec les transformations analogues 

 relatives aux autres tétraèdres de Gopel, on engendre un groupe qu'on 

 montre aisément être infini (-). M. llutcliinson obtient un second groupe 

 de la fa(;on suivante : la surface de Kummer correspond birationnellement 

 à la surface du quatrième ordre 2, lieu du. sommet d'un cône du deuxième 

 ordre passant par six points. En prenant quatre de ces points pour sommets 

 du tétraèdre de référence, ce qui est possible de quinze fa(;ons distinctes, et 

 en choisissant convenablement les rapports des coordonnées, on voit que la 

 surface est invariante pour la transformation S. Mais, contrairement à la 

 conclusion de M. Hutchinson ('), les quinze transformations qu'on obtient 

 ainsi n'engendrent pas un groupe infini : je démontre qu'elles répondent 

 aux quinze coUinéalions fondamentales de la surface de Kummer (dillë- 

 rentes de l'identité j. 



2. On peut rattacher le premier groupe de M. Hutchinson à la tJiéorie des 

 systèmes linéaires de courbes tracées sur la surface de Kummer. 



Considérons deux familles de biquadratiques non associées. M. Humbert 

 a montré que deux courbes, de familles différentes, passent par quatre nœuds 

 de la surface et se coupent encore en deux points varial)les. Il est clair qu'on 

 définit ainsi une transformation birationnelle T de la surface. Je démontre 

 qu'en multipliant une coUinéation fondamentale convenablement choisie par 

 la transformation T, on reproduit, si les nœuds forment un quadruple de 

 Gôpel, la transformation S de M. Hutchinson. 



• Dans le cas où les nœuds forment un quadruple de Rosenhain, il résulte 

 aisément d'une proposition de M. Darboux(') que les deux points variables 



(') Bail. 0/ llie Amer. Math. Soc, 2' série, t. MI. 



(-) Les coefficients £, y), Ç de M. Hulrtiinson lioivenl être mulli[)liés par i ^= \/ — 1 ; 

 l'alisence de ce facteur détruit la symétrie remarquajjle du résultat, mais la conclusion 

 reste valable : le groupe est bien infini. 



(') L'erreur de M. Hutchinson provient de ce que les formules de changement de 

 coordonnées qu'il emploie modifient la forme de l'équation de la surface qui n'admet 

 plus dès lors la transformation S. 



(*) Bull, des Se. matli., i''' série, t. I, p. 337. 



