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ont pour images sur la surface S deux: points situés sur une droite issue d'un 

 des six nœuds del. L'étude d'une dégénérescence deïi suffit d'ailleurs pour 

 montrer que le groupe de transformations qu'on engendre est, en général, 

 infini. 



15. Le mode de transformation précédent s'étend à toute surface du qua- 

 trième ordre pourvue de n (S iÇ)) points doubles isolés. (L'existence d'une 

 courbe double donne lieu, évidemment, à un groupe continu.) On obtient 

 n transformations birationnellesde la surface en la projetant sur elle-même, 

 d'un de ses nœuds comme point de vue; et la combinaison (pour «> i) de 

 ces transformations engendrera un groupe G('). 



Il serait très intéressant de déterminer toutes les surfaces pour lesquelles G 

 est fini. Il devra d'abord en être ainsi de tout sous-groupe G^^ qu'on en 

 déduit en combinant les projections relatives;! deux nœuds seulement, A elB. 

 Pour cliaque courbe G, du faisceau | G | des sections de la surface par des 

 pians passant par A et B, on aura une relation de la forme 



1)1 (il — (•) = 2Nw + 2N'w', 



en désignant par u la somme des valeurs de l'intégrale de première espèce 

 attachée à G aux deux points de G confondus en A ; par c la somme analogue 

 pourB; par 2co et '^co' les périodes de l'intégrale, fonctions, ainsi que m etc, 

 du paramètre X de | G | ; par m, N, N' trois entiers nécessairement indépen- 

 dants de A. Par suite, si G^u est fini, u — v est une intégrale de l'équation 

 linéaire du deuxième ordre E à lacjuelle satisfont oj et co' considérées comme 

 fonctions de X; s'il en est ainsi, on reconnaîtra si les coefficients de la 

 relation entre u — v., w, w' sont entiers en étudiant les valeurs de X qui sont 

 points singuliers de E. Il restera enfin à rechercher, ce qui parait difficile, 

 si la multiplication des sous-groupes G^^ engendre un groupe fini. 



'i. Il existe effectivement des surfaces pour lesquelles G est fini., comme le 

 montre l'exemple remarquable de la surface dermique (n = 12). On voit 

 aisément que les (ï^,, sont d'ordre G, et que G est d'ordre 96; il coïncide 

 d'ailleurs avec le groupe des transformations linéaires de la surface 

 (supposée non singulière). 



/m surface desniique possède d'ailleurs un groupe infini ; rapportée à l'un 

 des trois tétraèdres de nœuds fondamentaux, elle admet la Iransforma- 



("•) Pour la surface de Kummer, on retrouve ainsi la transformation de Klein. 



