SÉANCE DU 6 DÉCEMBRE I909. Io57 



lion s ; la combinaison de ces trois transformations engendre un groupe 

 infini, comme on le voit en considérant un point d'une droite desmique('). 



5. On peut généraliser de deux façons le procédé de transformation 

 indiqué plus haut (§ 3). Il s'étend d'abord immédiatement aux surfaces pos- 

 sédant un faisceau de courbes de genre un. C'est précisément le cas étudié 

 par M. Enriques (-). On peut également considérer les surfaces possédant 

 n {> -i) faisceaux de courbes hyperelliptiques (ne faisant pas partie d'un 

 même système linéaire). A chaque point M de la surface correspond son 

 conjugué hyperelliptique dans la courbe de l'un des faisceaux passant par M. 

 Tel est le cas d'une surface du quatrième ordre possédant deux cubiques 

 (gauches). La droite joignant deu\ points correspondants est une corde de 

 Tune des cubiques. 



GÉOMÉTRIE. — Sur les transformations birationnelles des surfaces du 

 quatrième ordre à points doubles isolés. Note de M. L. Hemy, présentée 

 par M. G. Humbert. 



Considérons la surface du quatrième ordre à D points doubles la plus 

 crénérale (c'est-à-dire dont les coefficients sont supposés n'être liés par 

 aucune relation autre que celles relatives à l'existence des points doubles); 

 la recherche des transformations birationnelles de cette surface S„ est liée 

 à l'étude des systèmes linéaires de courbes tracées sur la surface, puisque à 

 toute transformation répond un tel système F, de dimension trois et de 

 degré quatre, transformé des sections planes; or, la recherche générale des 

 systèmes linéaires tracés sur la surface Sf, peut être résolue complètement 

 par une méthode analogue à celle que nous avons indiquée dans une pré- 

 cédente Note en vue de la détermination de l'invariant p. 



Nous nous bornerons, pour plus dé simplicité, au cas où le nombre des 

 points doubles D est inférieur à six : je démontre que, dans cette hypo- 

 thèse, la surface générale S,, ne possède pas d autres courbes algébriques que 

 ses intersections complètes par des surfaces algébriques. 



(') Ce groupe est contenu dans un groupe de transformations hiunivoques obtenues 

 |)ar M. Humbert dans Véttide de la représentation elliptique de la surface {Journal 

 de Liouville, 4°série, l. VII, p. 376). La surface desmique paraît être ainsi la première 

 qui ait été signalée possédant un groupe discontinu de transformations sans admettre 

 de groupe continu. 



(*) Rendic. dell. R. Acad. dei Lincei, 5" série, t. XV. 



C. K.. 1909, 2- Semestre. (T. 149, N° 23.) ï4l 



