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Ceci posé, tout système linéaire F est caractérisé par (D + i) entiers, à 

 savoir le degré 4«, et les ordres de multiplicité 2/),, 2^21 ■ • ■ ) 2/^0 des points 

 bases de la courbe du système, ces entiers vérifiant d'ailleurs la relation 



2 n^- — p\ — fl — . . . — pl= -2, 



puisque le système F est supposé de degré quatre. 



Inversement, à un tel système linéaire F ne répond pas nécessairement une 

 transformation de la surface; mais, en tout cas, il ne peut lui correspondre 

 plus d'une transformation, abstraction faite des homographies que nous 

 laisserons désormais systématiquement de côté. 



Parmi les transformations de la surface Sj,, nous envisagerons d'abord 

 celles pour lesquelles les entiers /;,, p^, . . . , yç„ sont égaux, ou transforma- 

 tions symétriques : on établit que, pour un nombre donné de points 

 doubles, il ne saurait exister plus d'une transformation symétrique et Ton 

 reconnaît aisément que, pour les surfaces générales à moins de six points 

 doubles, il n'existe en fait que deux types de transformations symétriques : 

 l'un, T,, associant les couples de points situés en ligne droite avec un point 

 double; l'autre, T^, associant les couples découpés par les cubiques gauches 

 passant par cinq points doubles de la surface; ces deux transformations ont 

 respectivement pour entiers caractéristiques : 



T, « = 3 /^i = 4 



T5 « = '9 /*, =/A = . . .=/>5 = I2 



L'équation -in- = 2. n'admettant pas d'autre solution que «=i, il en 

 résulte que la surface générale du quatrième ordre sans point double ne 

 saurait posséder de transformation birationnelle (abstraction faite des 

 homographies). La surface du quatrième ordre à un point double ne pos- 

 sède qu'une transformation birationnelle, à savoir la transformation T,. 

 Quant aux surfaces possédant plus d'un point double, elles admettent une 

 infinité dénombrable de transformations résultant de la composition des 

 transformations du type T, relatives à chacun des points doubles; je me 

 propose d'établir, dans le cas où D est inférieur à 6, que toutes les transfor- 

 mations de la surface peuvent se déduire de ia composition d'un nombre 

 fini d'entre elles. 



A cet effet, une transformation T, d'entiers caractéristiques «,/),, . . . , p^ 

 sera dite réductible par une transformation T', si le produit TT' est une 

 transformation d'ordre inférieur à «; la condition d'irréductibilité s'exprime 

 par une inégalité de la forme 



(I) an — t^^p, — bip^ — . . .— bi,pu^o, 



