SÉANCE DU 6 DÉCEMBRE 1909. loSg 



OÙ a, è, , . . . , ^n sont des entiers positifs. D'autre part, si l'on considère une 

 courbe algébrique quelconque de la surface, d'entiers caractéristiques 

 V, cî|, nTo, . . ., dn, il est manifeste que les entiers «,/>,, ■ ■ -, Po satisfont né- 

 cessairement à l'inégalité 



(II) 2y/i — ro,jO, — 5T.2/>2 — • • •— 5îD/>n = o, 



dont le premier membre exprime la moitié du nombre des points d'inter- 

 section variables des courbes du système F avec la courbe considérée. En 

 définitive les entiers /i, />,, . . ., po correspondant à une transformation irré- 

 ductible satisfont à un système d'inégalités des types (I) et (II). 



Si donc on considère les quantités—» —> ..-, comme les coordonnées 



d'un point dans un espace à D dimensions, le point représentatif de la 

 transformation considérée T appartient, d'une part, à l'hypersphère 



et, d'autre part, est situé à l'intérieur on sur la surface du polyèdre convexe 

 défini par les inégalités (I) et (II). Dès lors, pour démontrer que les 

 transformations de la surface sont réductibles à un nombre limité d'entre 

 elles, il suffit de démontrer que, pour une valeur suffisamment grande de «, 

 l'hypersphère i^„ est exlèrieure au polyèdre considéré. 



En particulier, dans le cas de cinq points doubles, on est conduit à envi- 

 sager le polyèdre défini par le système d'inégalités 



n — iîPu 

 in =Pi+Pi+ Pi, 

 3n — i±Pi + Pi + Pi + p^-r Pi, 



et l'on reconnaît que ce polyèdre est tout entier à l'intérieur de l'hyper- 

 sphère 1,; dès que n dépasse 3. 



On parvient ainsi au théorème suivant : Les transformations birationnelles 

 de la surface générale du quatrième ordre à D points doubles (D <| G), qui 

 sont en nombre infini, résultent de la composition d'un nombre fini de trans- 

 formations, à S'H'oir celles qui associent les coup/es de points en ligne droite 

 avec un point double et celle qui associe les coup es découpés par les cubiques 

 gauches passant par cinq points doubles de la surjace. 



La démonstration précédente est basée sur la considération des systèmes 



