II 86 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ce qui conduit à modifier certaines formules dans le cas des singularités 

 isolées. C'est ainsi que, pour une surface de ivummer à modules généraux, 

 on aura p = i au premier point de vue, et p = 17 au second; mais celte 

 distinction ne change rien à la difficulté de la recherche de p pour une sur- 

 face donnée. 



La recherche de la valeur exacte du nombre précédent présente des 

 difficultés considérables tenant au caractère arithmétique de cet invariant. 

 La valeur de p est, par exemple, égale à un pour la surface la plus générale 

 de degré m (m24)) mais elle peut avoir des valeurs toutes différentes pour 

 une surface de degré m, quoique cette surface soit sans singularités; ce sont 

 des relations d'un caractère arithmétique pouvant exister entre les coeffi- 

 cients de cette équation (]ui modifienlla valeur de p, elles mêmes remarques 

 s'appliciuent à l'invariant absolu p^ représentant le nombre des intégrales 

 doubles de seconde espèce. 



Le nombre des catégories de surfaces pour lesquelles on peut déterminer p 

 et p„ est assez limité. Les auteurs du Mémoire qui nous est soumis se sont 

 proposé d'étudier à ce point de vue les surfaces hyperelliptiques. La 

 recherche du nombre p pour ces surfaces avait seulement été faite jusqu'ici 

 dans des cas particuliers par divers auteurs, parmi lesquels il faut citer 

 M. Severi cl M. Remy. C'est, d'ailleurs, récemment qu'on a fait l'énumé- 

 ration complète de toutes les surfaces hyperelliptiques. 11 y a deux ans. 

 l'Académie couronnait un Mémoire de MM. Enricpies et Severi, où se trouvait 

 établi le théorème (jui domine la théorie de ces surfaces, et où l'énumération 

 était complète en ce qui concerne les surfaces irrègulières, le cas des surfaces 

 régulières étant seulement traité en laissant de côté certains types singuliers. 

 A la môme époque, MM. Bagnera et de Franchis se livraient à la même 

 recherche en s'appuyanl d'ailleurs sur le théorème fondamental antérieu- 

 rement énoncé de MM. Enriques et Severi. Leur classification était com- 

 plète, et le Mémoire sur ce sujet a paru l'année dernière; il est la base du 

 travail actuel. 



Considérons d'abord les surfaces hyperelliptiques de rang un, c'est-à-dire 

 pour lesquelles les coordonnées d'un point s'expriment par des fonctions 

 (piadruplemont périodiques de deux paramètres, de telle manière qu'à un 

 point de la surface ne correspondent aux périodes près qu'un couple des 

 valeurs des paramètres. Le Mémoire commence par la recherche de p pour 

 ces surfaces, [^es valeurs de p sont ici égales à un, deux, trois, quatre, suivant 

 que la surface n'est pas singulière, ou est une, deux, trois fois singulière au 

 sens de M. Humbcrt. Quant au nombre po, il est, dans ces divers cas, égal 



