SÉANCE DU 20 DÉCEMBRE 1909. I187 



à cinq, quatre, trois ou deux. De tels exemples montrent bien la nature 

 arithmétique des invariants étudiés, puisque le fait, pour une surface, d'être 

 hyperelliptique singulière correspond à une ou plusieurs relations arithmé- 

 tiques de forme convenable entre les périodes. 



Arrivons aux surfaces hyperelliptiques F^ d'ordre r(r^i), c'est-à-dire 

 pour lesquelles à un point de la surface correspondent r couples de valeurs 

 distinctes des paramètres. Leurs points sont en correspondance univoque 

 avec les groupes de points d'une involution I sur une surface hyperelliptique 

 de rang un. qui est singulière, sauf dans le cas des surfaces de Kummer 



généralisées. En laissant de côté la classe des surfaces rationnelles et des sur- 

 es 



faces réglées elliptiques, il y a vingt types de surfaces F^. Dix de ces types 

 sont formés par des surfaces régulières de genre un ; les autres types donnent 

 des surfaces de genre géométrique zéro, et sept d'entre eux fournissent des 

 surfaces irrégulières avec une irrégularité égale à un. On comprend à 

 <}ui'lles discussions délicales et minutieuses conduit pour ces vingt types la 

 recherche des invariants p et p„. I.e groupe fini de substitutions linéaires 

 sur les paramètres correspondant à l'involution I est un élément capital de 

 cette étude, et les représentations des courbes de la surface ou de leurs mul- 

 tiples au moyen de fonctions t/iétu ou (!<■ fonctions intermédiaires, telles 

 qu'elles ont été envisagées par M. Humbert, jouent un rôle essentiel. 



Nous ne pouvons donner ici le Tai)leau de tous les résultats. Signalons 

 seulement quelques-uns d'entre eux. Pour les surfaces F. (surfaces de 

 Kummer généralisées) l'invariant p„ est le même que pour la surface hyper- 

 elliptique de rang un, support de l'involution, et ce fait intéressant se 

 vérifie pour toutes les surfaces hyperelliptiques, quel que soit leur rang, 

 quand leur genre géométrique est égal à un. Parmi les types signalés plus 

 haut, il en est trois seulement répondant à des surfaces régulières de genre 

 zéro, avec le bigenre égal à un; deux de ces types appartiennent au rang 

 quatre, et le troisième au rang huit. Pour les trois types, l'invariant p, 

 calculé du point de vue des transformations birationnelles, est égal à di.v, 

 et p„ est nul. Quant aux sept types de surfaces hyperelliptiques irrégulières 

 de genre zéro, on a pour tous p = 2 et p„= o. On sait d'ailleurs que, sur 

 toutes les surfaces irrégulières de genre zéro, qui ne sont pas des transfor- 

 mées birationnelles des surfaces réglées, il existe un faisceau elliptique et un 

 faisceau linéaire de courbes elliptiques de même module; MM. Baguera et 

 de Franchis déduisent de là que, pour ces surfaces irrégulières, p^ est tou- 

 jours nul. 



Celte analyse succincte suffit à montrer la nature des résultats contenus 



