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séries des fonctions /(a-) susceptibles de se mettre sous la forme 



(I) /(^•)=f K{x,y)F{y)dy. 



M. Schmidt commence par envisager le système des deux équations 

 fonctionnelles 



(2) 



i4/(x)=z>./ K{y,a)(p(y)dy. 



Sauf un cas particulier facile à caractériser, il existe une infinité de 

 valeurs réelles de X (qu'on peut supposer positives), pour lesquelles ces 

 équations sont satisfaites autrement que pour ç = ^j; ^ o. 



Soient, rangées par ordre de grandeur croissante, 



ces valeurs de X, et les valeurs correspondantes des o et des <]/ 



les fonctions o et J; formant un système orthogonal et normal. M. Schmidt 

 établit que toute fonction y susceptible de la forme (i) est susceptible du 

 développement en série 



f{3c) =:«i9,(x) +. ..+ a„o„{x) + . . ., 



les a étant des constantes. Pour simplifier, nous supposons d'abord que le 

 noyau K (a:, y) soit en général continu, pouvant avoir seulement des sauts 

 brusques finis le long d'un nombre fini de courbes (relations entre x et j'). 

 2. Ce très intéressant résultat sera malheureusement d'une application 

 assez difficile, car il ramène la question du développement à un problème au 

 moins aussi difficile, je veux dire la résolution de l'équation intégrale (i) de 

 première espèce, où K i^x, y) et f(x) sont des données, l'inconnue étant F(jk)- 

 J'ai donné récemment (') un théorème général sur les équations intégrales 

 de première espèce, mais, tout en étant théoriquement très satisfaisante, 



(') Comptes rendus, i4juin el 28 juin 1909 el Rendiconti del Circolo nicUcniatico 

 di Palermo, t. XXIX, 1910. 



