SÉANCE DU •>.~j DÉCEMBRE 1909. 1 SSq 



cette proposition peut n'être pas d'un emploi très pratique. Je veux in- 

 diquer ici un cas extrêmement simple où le théorème de M. Schmidt 

 s'appliquera sans aucune peine. 



Soit H(a^, y) une fonction donnée de^etj', et prenons la fonction K(ic, y) 

 définie par les conditions 



K(a-, /) T= ïl(jr, r) (pour j^ ,1-), 



K(,f, j')=o (pouri->j:), 



les variables x et y varient dans l'intervalle (a, è). 

 L'équation (1) devient ici 



(3) /{•r) = f n{j:, y) F (y) dy, 



et le système des équations (2) peut s'écrire 



l o(x) — lf V{(x,y)<h(y)dy. 



\ ^{.v)=^lj H{Y,a:)o{y)dy. 



Or l'équation (3) est une équation du type d'Abel et de M. Volterra, c'est- 

 à-dire une équation intégrale qu'on discute aujourd'hui facilement, au 

 moins si certaines conditions particulières ne se présententpaspour H^i^, y). 

 3. Pour prendre le cas le plus simple, supposons que ii(x,y) soit con- 

 tinue et que 



ne s'annule pas dans lintervalle (a, b). On sait alors que, si la fonction con- 

 tinue /"(.r) s'annule pour a; = a et a une dérivée /Co;-), on pourra trouver 

 une fonction F satisfaisant à (3). 



Nous voyons donc que, sous les conditions précédentes, une fonction quel- 

 conque f{x) sera développable dans l'intervalle (a, b) suivant les fondions 

 0| , O2, . . . , o„ . . . résultant de la considération du système (4). 



Le cas où H(a;, œ) s'annule dans (a, b) est beaucoup plus difficile, comme 

 l'ont montré les belles recherches de M. "N'olterra relatives à l'équation (3). 



Le noyau H (a?, y) pourrait aussi n'être pas continu; ainsi, pour ne citer 

 qu'un cas, prenons 



"(-•/) = (7^. (o <.<.), 



la fonction G(a", x) ne s'annulant pas dans l'intervalle (a, b). On aura un 



