SÉANCE DU 27 DÉCEMBRE I909. l353 



■On sait en outre que si l'on déforme £, sans déformer ses génératrices, et 

 en entraînant chaque surface S avec le plan II correspondant, les nouvelles 

 positions des surfaces S constituent encore une famille de Lamé. Oiipourra 

 en particulier amener toiis les plans II à coïncider. 



Supposons maintenant que chaque surface S d' une famille de Lamé admette 

 un plan de symétrie II la coupant orthogonalement suivant une ligne de cour- 

 bure A, qui ne soit pas une ligne d'ombilics. 



Parmi les surfaces qui complètent le système triple orthogonal, il y en a 

 qui coupent orthogonalement chaque surface S suivant une ligne de cour- 

 bure Y orthogonale à A et par conséquent symétrique par rapport au 

 plan II. (Ceci pourrait être un défaut si A était une ligne d'ombilics.) Ces 

 surfaces forment une des familles (F",) dn système triple. Imaginons alors 

 qu'on associe à chaque ligne y de S une surface F qui coupe S à angle droit 

 suivant y et qui admette II pour plan de symétrie. Il est clair que, si y en- 

 gendre une surface de (F,), la surface F correspondante touchera cette sur- 

 face suivant y. Or je démontre le théorème suivant : 



Pour qu'une surface variable F ayant un plan de symétrie variable Yl'touche 

 son enveloppe suivant une ligne y symétrique par rapport à II, il faut et suffît 

 que les normales à F le long de y rencontrent toutes la caractéristique du 

 plan II. 



En appliquant ce théorème au problème précédent et combinant cette 

 seconde méthode avec la première, on arrive au théorème suivant : 



Prenons une surface quelconque ( S, ) à lignes de première courbure planes y 

 et un plan II quelconque. Construisons le périsphère surface de Joachimstal > 

 engendré par les cercles normaux à U et à (?:>,) le long d'une ligne de première 

 courbure dont le plan coupe U suivant une droite D. Déformons ensuite le 

 plan 11 sans déformer les droites D et supposons que le plan langent relatif à 

 chaque droite U entraîne avec lui la surface S correspondante. Les nouvelles 

 positions de ces surfaces constituent la famille de Lamé la plus générale., 

 composée de surfaces à plan de symétrie variable. 



Si l'on veut en particulier les familles de Lamé composées de cyclides de 

 Dupin, il suffit de prendre comme surface (S, ) le périsphère le plus généraL 

 On retrouve alors immédiatement les différents résultats établis par 

 M. Darboux dans deux récents Mémoires, entre autres la génération élé- 



