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gante indiquée dans le second Mémoire et qui fait intervenir l'enveloppe 

 d'un cercle focal de la cyclide. 



Cas d'exception. — Nous avons écarté le cas où la ligne ( A) serait une 

 ligne d'ombilics. En s'appuyant sur un théorème de M. Maurice Levy 

 relatif aux lignes ombilicales d'une famille de Lamé, on voit sans peine que 

 le seul cas qui nous échappe est celui où la ligne ( A ) coïncide avec la caracté- 

 ristique D du plan H. 11 y aurait lieu d'étudier la distribution des lignes de 

 courbure au voisinage de cette ligne, ce qui semble assez compliqué, car 

 ses différents points ne sont plus des ombilics à proprement parler et 

 présentent des singularités du troisième et du quatrième ordre. 



Généralisations diverses. — On peut généraliser de diverses façons les 

 résultats précédents. D'abord, dans la première question que nous nous 

 sommes posée, on peut supposer qu'a» lieu d'un plan de symétrie on a un 

 centre ou un axe de symétrie. On est conduit à des résultats analogues que 

 nous n'énonçons pas ici faute de place. Malheureusement, notre seconde 

 méthode ne s'applique plus ici et l'on ne peut arriver à des résultats aussi 

 complets que les précédents. 



On peut aussi supposer (pi'au lieu de surfaces à plans de symétrie on a 

 des surfaces anallagmatiques. On obtient alors le théorème suivant : 



Prenons une sur face quelconque (S,) alignes de première courbure sphériques 

 et une sphère II quelconque. Construisons le périsphère S, inverse d'une surface 

 de Joachimstal, engendré par les cercles normaux « Il e/ à ( S, ) /e long d'une 

 ligne de première courbwe., dont la sphère coupe II suivant un cercle D. Sou- 

 mettons la sphère II à une flexion isomorphe (') relative aux cercle D, et 

 fixons chaque surface S ainsi transformée quand le cercle D correspondant 

 sert de base à la flexion. Les surfaces obtenues constituent la famille de Lamé 

 la plus générale composée de surfaces anallagmatiques par rapport à une 

 sphère variable et coupées à angle droit par cette sphère suivant une ligne qui 

 n'est pas un cercle cV ombilics . 



.le me suis rendu compte, en cherchant la démonstration de ce théo- 

 rème, qu'on pouvait généraliser mes ^otes du 3 août 1908 et du 22 no- 

 vembre 1909 en y remplaçant le déplacement par la transformation 

 conforme la plus générale de l'espace. Mais je n'ai fait qu'ébaucher cette 

 théorie. 



(') Voir Darboux, Théorie des surfaces, t. IV, p. aô^. 



