SÉANCE DU 27 DÉCEMBRE I909. l355 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur /a représentation des fonctions analytiques 

 par des intégrales définies. Note de M. D. Pompéiu, présentée par 

 M. Jordan. 



Dans une Note antérieure ( Comptes rendus an 12 juillet 1909) j'ai montré 

 la possibilité de mettre toute fonction analytique/(c), bornée et singulière 

 sur un ensemble E de longueur partout non nulle [cette propriété de E est, 

 d'ailleurs, une conséquence de l'iiypothèse faite sur /(s)], sous la forme 

 dune intégrale définie 



'?iî',/.- 



Ç désignant les points singuliers ào f{z), et ^(Q étant une fonction qu'on 

 sait définir et qui est nulle pour tout point régulier s. 



1. Dans la présente Noie je me propose d'appliquer la même méthode à 

 la représentation des fonctions analytiques uniformes /(^) ayant les pro- 

 priétés suivantes : 



i" f(z) est partout continue, donc continue aussi sur l'ensemble E des 

 points singuliers ; 



1" La dérivée/'(s) est une fonction bornée : autrement dit, on a 



!/'( = ) |< M 



quel que soit s, M étanl un nombre fixe ; 



3° La fonction /(;) est régulière et nulle à l'infini. 



Des deux premières hypothèses il s'ensuit immédiatement (voir, par 

 exemple, dans ma Thèse, le Chapitre III de la deuxième Partie) que l'en- 

 semble E, formé par les points singuliers '( dey"(;), a une aire partout non 

 nulle. 



2. Cela posé, je vais me servir d'un lemme pour l'énoncé duquel j'ai 

 besoin d'une définition. 



Soit /(s) une fonction de variable complexe (je prends ce mot dans son 

 sens général et non dans le sens restreint de fonction analytique). Je suppose 

 quey(: ) est définie dans un certain domaine D ayant pour frontière une 

 ligne rectifiable C. 



Divisons le domaine D, par des lignes rectifiables, en un nombre quel- 

 conque de domaines partiels Y)^ : chacun de ces domaines aura pour frontière 

 une courbe rectifiable C/,. Prenons les intégrales de/ (s) le long de chacun 



