l356 . ACADÉMIE DES SCIENCES. 



des contours fermés C^ et formons la somme 



V=| f/i:)dz\ + \ f/{z)ch -h... + | f f(z)dz. 



que nous appellerons variation^ relative à /(s), pour le mode de division 

 adopté. Si, quel que soit le mode de subdivision adopté, le nombre positif V 

 est borné, nous dirons que /(s") donne lieu à une variation totale bornée, 

 cette variation totale étant, par définition, la plus grande limite de V lorsque 

 le diamètre o des domaines partiels T)^ tend vers zéro. 



Cette définition étant posée, le lemme s'énonce de la façon suivante : 

 Soit/^(;;) une fonction de variable complexe, définie dans un domaine D. 

 Si, dans ce domaine, f (s) donne lieu à une variation totale bornée, il 

 existe une fonction ç(,-s), définie dans D, sauf peut-être pour certains points 

 formant un ensemble d'aire nulle, et telle qu'on ait, pour tout contour 

 fermé C, tracé dans D, 



j f(z)dz^f '.(z)ctM, 



la seconde intégrale étant une intégrale double étendue au domaine limité 

 par C. 



3. Reprenons maintenant la fonction analytique /(z), définie au n° 1, 

 et appliquons-lui le lemme précédent : cela est possible à cause de l'hypo- 

 thèse faite sur /'(s). 



On en déduit l'existence d'une fonction (p définie pour tout point :; ou '(• 

 Mais, dans un certain voisinage de tout point z, l'intégrale 



f/^' 



),lz 



est nulle. Donc la fonction s est nulle pour tout point régulier z ; elle n'est 

 différente de zéro que pour les points singuliers "(. 



D'ailleurs, pour ces points elle ne peut pas être identiquement nulle, car, 

 alors, les intégrales 



•Je. 



(où u désigne indifléremment les points s et ç) seraient toutes nulles, et, 

 /(«) étant partout continue, la fonction J\u) serait, d'après un théorème 

 de Morera (voir aussi, dans ma Thèse, le Chapitre 1 de la première Partie), 

 partout holomorphe, ce qui est impossible. 



