SÉANCE DU 'i JUILLET 1910. 49 



(Si les domaines a et ^i mil une partie comniiine la coiulilion est rein[)lie 

 d'clle-inênic.) 



a" Il est impossible de réaliser un mouvement infiniment voisin satisfai- 

 sant exactement aux iiiènics conditions aux limites. Cela étant : 



Iai condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe toujours un mouve- 

 tnenl rè^ulwr qui amène au bout d'un temps donné l <C i „ un mobile, parlant 

 d'un point donné du domaine a, en un point donné B du domaine [i, est 

 qu'aucun des mouvements s'effectuant entre le domaine 01. et le domaine [ï do/it 

 la durée est inférieure à T„ ne puisse pénétrer dans des régions to suffisamment 

 petites, mais fixées d'avance, qui entourent les points singuliers des f,. De plus 

 le nombre des mouvements possibles satisfaisant aux mêmes conditu>ns aux 

 limites est alors indépendant de la imleur de t (( <i l'„ ) et de la position de A 

 et de W dans leurs domaines respectifs. 



'2. Parnii les conséquences de ce tliéorèmc j'indi(picrai [if)ur le nionient 

 la suivante : 



Considérons Tinlégralc de Hauiillon 



./■' 



c/./'i tl.r., itjc, 



OU II, est une lorinc (piadratujue delinie positive de —j--, —t-^, • • • 1 -j— > dont 



les coeflicients ainsi que la fonction H sont des fonctions de r, , .r.^, . . . , .r„, /, 

 réf^ulières pour toutes les valeurs réelles finies de ces variables. Si 



H 



(. + ./-J + :r^ + ...+ ^,',)'-«' 



a étant positif admet une limite inférieure, si l'on sait d'ailleurs qu'il ne peu/ 

 pas exister deux mouvements infiniment raisins annulant lu rariation de l'in- 

 tégrale de llamilton et satisfaisant aux m<'mes conditions aux limites, il existe 

 toujours au moins un mouvement onnulant la variation et réalisant les condi- 

 tions aux limites (^dii théorème général). 



3. Je veux encore examiner la question simple île rexislt'nce des exlré- 

 niales, lorscpi'il s'agit de rendre uiiniuia l'intégrale 



^ = f/i^r,y.y')d.i- (/:•.> o). 



Je ferai sur y les livpollièses suivanles : la fonction /"est régulière pour 

 toutes valeurs réelles finies de .r, y, y', elle a une liiuile inlV-riiMire; on sait, 



eu., i.|io, - Semestre. (T. 151, ^° 1.) 7 



