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el de la condition h en remarquant que les fonctions U, V, W, 



/o\ II ^ r \~ , \ - , s ~ , ,1 cosC/-.r ) cns(/-v) , 



(8) U — — / [// cos(/./) + i' cos(/-j) -H ivcos(/-i)J -h. ..., 



satisfont aux équations 



(9) A^( = o, ..., 0=o, 



et que leurs valeurs limites U, V, W à la surface a possèdent les propriétés 

 suivantes ( ' ) : 



I. Si l'on sup[)nse les fonctions «, f , w continues (ou seulement continues 

 par intervalles) sur a-, on aura pour deux points (H,'Ci'Ci) et (^o^jCi) de u 

 quelconijues dont nous désignons la distance par i\.^^ 



(10) |(«-Uk^,^rr-(''-Û)|,r„r, l=;BiMax.abs.(7/,r,;7')'->\. •■• (o<A<i), 



où B est une constante finie ne dépendant que de la surface n el du choix 

 de A. 



II. Si l'on suppose les fonctions «, v, w continues de manière qu'on ait 

 pour deux points (^, y], Ç, ) et(;^y]/C:.) de i quelconques dont nous désignons 

 la distance par r,^, 



(m) I «(c'2V)2Ç2) — «(;,-1iÇi) I"A/'',,, ..., 



A étant une constante finie, o <; A <^ i , les fonctions u — U, t' — V, w — W 

 posséderont des dérivées premières, D|(m — U),D,(i' — V), D, (n' — W) 

 dont la continuité satisfait aux conditions 



(12) |D,(;;-U)E,r„c,-i5i(«-iJ)=,,,^,|=c\/->„ 



où C est une constante finie ne dépendant que de la surface t et de A. 



On voit ainsi facilement qu'on pourra toujours résoudre le problème (i) 

 sous la seule condition que les fonctions a, i', w soient continues (ou seule- 

 ment continues par intervalles) sur a. 



L'analogie de cette réduction avec les réductions semblables du problème 

 de Dirichlet devient encore plus frappante, si l'on remarque dans un ordre 

 d'idées mis en œuvre par MM. Fredholm, Picard, Lauricella etMarcolongo 



(' ) La déiiionstralion de ces tleu\ lemines est analogue aux démoiislrations des 

 leinmeslael III, p. l 'i el i8 de mon Mémoire Sur lex équalions de l'cldsticilc {Ann. 

 de l'Ëcule IS'orniale supérieure, 3" série, l. \.\1V, 1907). 



