SÉANCE DU II JUILLET I9I0. ï'Sg 



Réciproquement, si l'on attribue, conformément à ce principe, les inter- 

 valles conligus d'un ensemble parfait linéaire non dense, à une infinité de 

 domaines à construire A, , Aj, . . . , i,„ . . . , on peut constituer chacun de ces 

 domaines en joignant les intervalles à lui dévolus par des sortes de bras 

 coudés à angle droit, limités par des segments de droite perpendiculaires 

 ou parallèles à la base de l'ensemble. 



Il est possible d'effectuer la construction de telle façon que l'ensemble 

 des domaines soit dense dans tout le plan. Tout point frontière de l'un des 

 domaines se trouve être frontière pour tous les autres. Si l'on veut que la 

 frontière soit bornée, on prend l'inverse de la figure relativement à un point 

 intérieur à l'un des domaines. 



Beaucoup de Mémoires relatifs à ces questions ont certains de leurs 

 raisonnements ou de leurs conclusions infirmés par des domaines tels (jue 

 les précédents ou des courbes telles que la frontière de ces domaines. 



Pour de telles courbes, on peut, si elles sont bornées, définir un extérieur, 

 mais elles possèdent alors plus d'un intérieur. Deux points queiconcjues 

 pris sur l'une d'elles définissent, non pas deux arcs distincts, mais deux arcs 

 dont l'un au moins coïncide avec toute la courbe. H est inexact qu'en toute 

 généralité un domaine (à connexion simple) borné soit déterminé par sa 

 frontière, etc. 



^ oici une proposition que j'ai établie en toute rigueur et dont l'appli- 

 cation dans ces théories est très fréquente : 



Si les frontières de deur continuums distincts ont en commun deita- points, 

 chacune d'elles est continue entre ces deux points. 



Ce théorème est encore exact dans l'espace à un nombre quelconque de 

 dimensions, mais il ne l'est pas pour des continuums situés sur des variétés 

 (tore) dont la connexion n'est pas simple. 



II. Il est possible de caractériser par une propriété remarquable, sur tout 

 ensemble parfait discontinu V à un nombre quelconque de dimensions, un 

 certain ensendjle dénombrable et dense. 



Supposons pour simplifier (|ue Icnseinble parfait soit à deux dimensions. 



Convenons de dire qu'un point S de l'ensemble P en est un sommet, s'il 

 existe un secteur de cercle ne contenant aucun point de P, ayant pour 

 sommet S, d'ouverture égale à - -(- a (a>o ) el de rayon non nul p. On a le 

 théorème suivant : 



Les sommets d'un ensemble parfait V forment un ensemble dénombrable et 

 dense sur P. 



