SÉANCE DU 18 JUILLET 1910. 198 



(n-h i) variables .r, .t,, ..., x,„ afiachées au groupe ponctuel général à 

 n variables r„. 



Si le système (aj est réductible, il faut rlioisir, parmi les systèmes inéduclibles (S) 

 vérifiés par une solution fondamentale au moins (;,, ..., c„), ceux qui définissent les 

 transcendantes fe/)/M.v simples. Four cela, s'il cviste des systèmes (S) renfermant 

 des équations d'ordre zéro, on prendra tous ceux So qui en renferment le plus grand 

 nombre; |)armi oeii\-!à on |)rendra tous ceux. (S,) qui renferment le plus grand nombre 

 d'équations de premier ordie; parmi ceux-là on prendra tous ceux qui renferment 

 le plus grand nombre d'équations de second ordre, et ainsi de suite.... ( Il y a au moins 

 des équations d'ordre trois.) 



Les systèmes (S,,) aux(iuels on parvient déterminent tous un même ensemble de 

 dérivées principales. On peut former pour tous les ordres de dérivation, jusqu'à un 

 certain ordre assez élevé, une résolvante algébrique définissant une combinaison 

 linéaire, à coefficients rationnels ([uelconques, de ces dérivées principales au moyen 

 des éléments paramétriques : si les systèmes (S,,) donnent lieu à des résolvantes de 

 degrés différents, on prendra enfin, parmi eux, ceux (i) qui donnent des résolvantes 

 de degré minimum. 



Ce sont ces systèmes (i) que j'appelle systrmes irréductibles réguliers : ils sont à 

 la fois irréductibles el priini/ifs, en ce sens qu'aucune trans-formalion (3, Z) définie 

 par un système différentiel rationnel irréductible ne peut augmenter le iiomijre des 

 équations du système (i) qui sont d'un ordre donné, ou aljaisser leur degré en conser- 

 vant les nombres qui correspondent :iii\ (udres inférieurs ('). 



2. Les équations d'ordre zéro d'un système irréductible régulierdonnent, 

 si elles sont en nombre k, k solutions rationnelles distinctes do ré(juatioii 

 X(3)= o. Le passage à un domaine de rationalité algébrique permet de 

 ramener l'équation à une autre de même forme, dépendant algébrique- 

 ment de /t paramètres :;,, . . ., s^ et de (« — k -\- i) variables seulement. 



( )n supposera donc qu'il n'y a plus d'équations d'ordre zéro, dans le sys- 

 tème ( 1 ). L'introduction systématique de certains éléments {coordonnées 



d'un polynôme) (qui paraissent se prêter très simplement à Velude des fonc- 



tions rationnelles de x, r,, ..., x„, :■,, . . ., :;„, -p-, •••> j-^> ••• (piand on 



y fait subir aux :■ une transformation ponctuelle (juelconquej conduit par 



des calculs élémentaires aux conclusions suivantes : 



Tout système irréductible régulier ( i^), arrêté à un ordre convenable, peut 



(') La définition des systèmes irréductibles réguliers, auxquels s'appliquent exclu- 

 sivement les raisonnements et les conclusions données dans ma Tlièse, a été commu- 

 niquée en octobre 1898 à MM. l'ainlevé et Vessiot qui avaient appelé amicalement mon 

 attention sur l'ambiguïté de certains énoncés. 



C. R., 1910, 3« Semestre. (T. 151, N° 3.) ^6 



