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comme on peut s'en rendre compte immédiatement par l'intégration de 

 l'équation de Lagrange; ce qui est conforme à notre théorie, puisque la 

 fonction B = — 2V\ i -t-.V" croit indéfiniment (' ) avec v'. 



On obtient des résultats analogues dans la théorie des minima des inté- 

 grales doubles. 



Dans mon Mémoire Sur la généralisation du problème de Dirichlet, j'ai 

 déjà montré qu'il existe toujours une surface analytique rendant minima 

 l'intégrale double 



I = / f/i/'.'/) d-i- dy [/,;/;, - (./•;, )^ > o ], 



et passant par un contour quelconque (à projection convexe). 

 Si l'on envisage l'intégrale double 



•I = / //(/-'• '/. ^■. y) dv dy [0 =/,;../;;. - (./;,/)=> o], 



le problème du calcul des variations peut, au contraire, dans certains cas, 

 ne pas avoir de solutions. Les résultats de ma Note présentée à l'Aca- 

 démie le 28 février 1910 permettent facilement de tranciier la question. En 

 efTet, supposons, pour fixer les idées, que pour p, q très grands la fonction 

 fip-i ^1 ^^'1}') puisse être développée en série deux fois déiùvable 



/(/', y. .r, y) —j\l^j>, 7, x, y) -+-./', (/J, y, .r, j) -,-... -+-./„(/->, 7. .i',^) +. . . , 



on f„(p, y, a-, y) est une fonction homogène par rapport àyo, y de degré x„, 

 les nombres réels a„ étant assujettis à la seule condition que 



«1 > «2 > 5!:, > . . . > 3t„ > . . . . 



11 est aisé de voir alors que l'expression E de la Note citée est égale à 



K = 3t,(3(, — i)/i4- y-, {y.,— i),A + 



D'ailleurs, on vertu do > o, on a a, _ 1 . D'autre pari, on a 



D = ./;:„ + /;,. 



( hi en conclut (|ue, si a, ^ i, la croissance de ]{ est supérieure à la croissance 



(') Pour l'existence des extrémales, il suffit dans tous les cas, comme je l'ai dil, 

 (jiie H soit fini; mais si la croissance de B est irrégulière, cette condition n'est pas 

 aij^oliiinent nécessaire; il est nécessaire seulement que la croissance de B reste toujours 

 intérieure à la croissance de (/')°'. quelque petit que soit ac. 



