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la croissance de E = Afr -+- 2 \>pq -+- Cq- pour /jet q infinis reste constamment 

 supérieure ou égale à la croissance de Y) ; 2° que l'équation admette deux solu- 

 tions régulières à l'intérieur d'un cercle arbitraire^ dont la première soit supé- 

 rieure à M et la seconde injérieure à — M sur la circonférence, le nombre M 

 étant aussi grand qu'on le veut. Comme nous l'avons déjà vu, la seconde con- 

 dition se simplifie et disparaît même si l'on particularise un peu l'équation. 

 Pour appliquer notre théorème général au calcul des variations, nous nous 



bornerons au cas où le déterminant fonctionnel ','" •''''■'' a le signe de f'. 



D(/», ,•/, ;) » •''■ 



(d'ailleurs la condition /p,/|^", — (/,!/)■> o est naturellement toujours sup- 

 posée remplie), où l'on est bien certain, par conséquent, qu'il ne peut pas y 

 avoir de solutions voisines prenant les mêmes valeurs sur un contour fermé. 

 On trouve alors immédiatement comme condition suffisante pour qu'il 

 existe toujours une fonction réefulière rendant minimum l'intégrale 



/ I /(/','/■ ^,-'r, y) e/'i^-dr, 



que la croissance de la /onction f pour p, q infinis soit supérieure à i e/, de 

 plus, que pour p ^ q ^ o, on ait :■(/'. — f],,. — yj,,)^o, du moment que le mo- 

 dule de z devient suffisajnment grand. 



AIVALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la géométrie de lignes cantoriennes. 

 Note de M. Sigismond Janiszewski, présentée par M. Appell. 



Les ensembles continus dans l'espace à n dimensions feront l'objet de 

 cette étude. 



Théorkme 1. — l'our chaque continu et deux quelconques de ses points., A 

 et B, il existe au moins un sous-ensemble de V qui est un arc irréductible ( ') 

 entre A eHî; je le désigne par AB. 



Si r n'est pas lui-même un AB, cela veut dire qu'il existe un continu F, 

 contenant A et B et ne contenant pas au moins un point P de Y. D'autre 

 part, un ensemble bien ordonné n'ayant pas de dernier terme, des ensembles 

 continus F^, Fp, ..., dont cluicun contient tous les continus suivants et les 



(') Je suis la terminologie de M. Zoretli {Annales de l'Ecole Normale. i<)oi)); en 

 réservant le nom arc simple (que j'employais dans ma Note de Comptes rendus, t. CL, 

 1910, p. 606) pour les ensembles plus simples, je serai de même d'accord avec la 

 terminologie de M. Scliœnflies. 



