SÉANCE DU iH JUILLET 1910. 199 



points A et B, délinit un ensemble de points 



iV=iîi(;r;). 



On peut démontrer que F^ est un continu, contenant A et B. Si T^ n'est 

 pas un Alî il existe de même un sous-ensemble continu r^+i, contenant A 

 et B et ne contenant pas un point l'j;, de Fj^. 



De la sorte notre procédé nous fournit un ensemble bien ordonné de 

 continus F^^ et fait correspondre à chacun d'eux qui n'est pas un arc irré- 

 ductible AB, un point P^ distinct de tous les points précédents. Mais, 

 d'après le théorème de M. Zermelo, le continu a une puissance aleph. Le 

 procédé de détermination de F,, doit donc finir au plus sur un nombre 

 transfini de la classe, correspondant à la puissance du continu. Mais il ne 

 peut finir, d'après ce qui a été dit plus haut, que sur un r« qui est un arc irré- 

 ductible AB. Un tel arc existe donc ('). 



Il est évident qu'w/i arc irréductible ne peut avoir de points intérieurs (-). 

 Mais, dans l'espace, il peut contenir, par exemple, une portion du plan. 

 Aussi pour le plan un arc irréductible peut présenter des sing^ularités très 

 difl'érentes, et voici tout ce qu'on peut énoncer : 



Théorème H. — Soient AB un arc irréductible et M un de ses points ; 



on a 



in(.\M, B.M) = AB. 



où AM et BM désignent les arcs irréductibles sur AB. 



Mais il peut se présenter qu'il existe plus qu'u/? arc irréductible AM sur 

 AB. Une courbe qui commence en B et enveloppe un cercle une infinité de 

 fois en s'approchant vers lui d'une manière asymptotique nous en fournit 

 un exemple quand on prend A el M sur ce cercle. 



Le même exemple montre que D( AM, BM) peut contenir d'autres 

 points c[ue M. Il montre encore qu'un arc irréductible peut diviser (s'il 

 s'agit de lignes planes) le plan en deux régions^ il peut être même lui-même 

 une courbe fermée au sens de M. Schœnflies (^). 



(') Ce théorème me parail être fondamental; il esl nécessaire pour la démonstration 



de tous les tliéorèmes suivants. Il est donc bon d'en avoir une déraonslraliou qui ne 

 fait pas appel aux nombres transllnis; M. Mazurlviewicz me signale une démonslralion 

 de cette nature. 



(-) Voir L. ZoRETTr. Annales de VEcole Normale, 1909, p. 487. 



(*) Voir l'exemple de M. Brouner [Ziir Analysis siliis {Matheniatische Annalen, 

 t. LXVIII)] ; la ligne de la figure 2 représente un arc irréductible l'P'. 



