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Pour cela, l'arc irréductible général ne peut être considéré comme corres- 

 pondant à la notion vulgaire de ligne, pas plus qu'une ligne cantorienne 

 générale. Pour qu'il en soit ainsi, il est nécessaire de faire une restriction. 



Théorème III. — Étant donnés AC et BC tels que D(AC, BC)s=C, 



on a 



i«(AC, BC) = AB. 



Théorème IV. — L'hypothèse que, pour chaque point M de AB, on ail 

 (i) 0(AM,BM)3^M 



suffit pour que AB jouisse des propriétés suivantes : 



I. Il ne peut exister sur AB deux arcs irréductibles différents: (MN), et 

 (MN),. 



II. Si N est situé sur AM, AN ne contient pas M. De cette propriété 

 résulte la possibilité de définir un ordre de succession de points sur AB. 



III. t»(PQ, PR) = P, si R n'est pas situé sur V(), ni () sur PR. 



IV. JD(PQ, PR ) = P, si P est un point de (^R. 



Je nomme arc simple un arc irréductible AB ayant la propriété u). La 

 proposition IV peut s'énoncer alors : 



Un arc irréductible situé tout entier sur un arc simple est simple lui-même. 



Toutes ces propositions sont de si mplesconséquencesdes théorèmes 1, 11, III 

 et de l'hypothèse ( i). 



Je nomme un continu de condensation un continu F tel que l'ensemble 

 dérivé de la différence du continu donné et de V est identique au continu 

 donné ( '). 



Théorème A . — Pour qu'un arc irréductible AB soit simple, il faut et il 

 suffît qu'il n'existe sur lui aucun continu de condensation. 



1. Supposons qu'il existe un continu de condensation et soient M et N 

 deux de ses points. AB étant un arc simple, posons M << N. AN et BN ayant 

 un seul point N commun, AM et B.\ n'en ont aucun. L'ensemble dérivé de 

 la différence de AB et de MN est identique à Jll(AM, BN) et devrait être 

 identique à AB ; d'où la contradiction. 



2. Supposons que AB ne contienne aucun continu de condensation, mais 

 que pour un point M, Jïl(AM, BM) contienne un point \ outre M. Une 



(') Celte nolion correspond pour le plan à jjeii près aux arcs composés de points 

 unerreichbar de M, Scliœnflies. Mais pour les espaces, tandis que l'idée de M. Scliœn- 

 flies peut être appliquée aux surfaces, la notion de continu de condensation s'applique 

 toujours aux lignes. 



