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liypothèse. Il est mémo plus simple, c'est ce que je fais dans mon 

 Mémoire, de donner de Fensemble complètement fermé une définition 

 un peu dinérente qui est la suivante : Un continu, C, irrèdaciible entre a el 

 h est complètement fermée si, quel que soit le point e de r ensemble, on peut 

 trouver deux continus portions de C contenant l'un a, l'autre />, et ayant c 

 pour seul point commun. ( lette définition se confond, on le voit, avec celle de 

 l'arc simple de M. .laniszewski. Je montre (ju'elle est équivalente à ma pre- 

 mière définition. 



3. Mais quand un continu n'est pas complètement fermé, on peut cepen- 

 dant en ordonner, sinon tous les points, du moins la plus grande partie. 

 Im notion d'arc a donc un sens. C'est ce qne je disais très rapidement dans 

 ma dernière Note, .le déduis ces résultats des théorèmes que je réunis dans 

 l'énoneé suivant: 



Etant donnés un continu C irréductible et un point c de ( "., on peut,el d'une 

 seule manière, décomposer C. en trois ensembles C,, C.,, F, Jouissant des pro- 

 priétés suivantes: C, et C^ sont bien enchaînés et ont le seul point c commun; 

 Y est formé de l'ensemble des points limites communs de C^ et de C^. Cette 

 décomposition, c étant donné, n'est possible que d'une seule manière; chacun 

 des ensembles C, -h F et C.^ -h Y est contitm et irréductible. 



.Je démontre également le théorème suivant : 



Pour qu'un continu soit complètement fermé, il faut et il suffit qu'il ne ren- 

 ferme aucune portion qui soit de plusieurs façons irréductible. 



4. Je n'insiste pas sur mes autres résultats et je termine en signalant le 

 lien entre les recherches de M. .laniszewski et les miennes. Les points de 

 départ sont très diiïérents, puisque le théorème I de M. Janiszewski, fonda- 

 mental pour lui, ne joue aucun rôlç dans mes démonstrations ( ' ). Mais les 

 trois points que je considère comme essentiels nous sont communs ; ce sont 

 les suivants : 



Notion de continu irréductible (introduite par moi dans le cours que j'ai 

 eu l'honneur de faire l'an dernier au Collège do France, puis dans mon 

 Mémoire ); 



Possibilité, pour un ensemble, d'être irréductible de plusieurs façons; 



Identité des formes données à la restriction nécessaire pour remplacer 



C) J'ai démoiilré ce lliéoièiue quelque temps avant que M. Janis/.ewski l'ait signalé 

 clans sa première Note. Ma démonstration est indépendante des nombres translinis que 

 j'ai toujours systématiquement écartés de mes raisonneinenls. Je donnerai cette dénums- 

 Iration dans mon pincliain Mémoire, avec quelques conséquences de cette propriété. 



